Integracija korištenjem parametarskih derivacija

U matematici, integracija korištenjem parametarskih derivacija je metod integracije određenih funkcija.

Pretpostavimo da želimo izračunati integral

$\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}\,dx.$

Ovaj integral se može riješiti tako što počnemo sa integralom:

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx=\left[{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right]_{0}^{\infty }=\left(\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right)-\left({\frac {e^{-t0}}{-t}}\right)\\&=0-\left({\frac {1}{-t}}\right)={\frac {1}{t}}.\end{aligned}}$

Sada znamo da je:

$\int _{0}^{\infty }e^{-tx}dx={\frac {1}{t}}.$

Pretpostavimo da sada tražimo drugu derivaciju po t, a ne po x (to znači da ćemo x i dx smatrati konstantama):

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-tx}dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-tx}dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{dt}}-xe^{-tx}dx={\frac {d}{dt}}-{\frac {1}{t^{2}}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-tx}dx={\frac {2}{t^{3}}}.$

Sada uočite da ovo rješenje ima isti oblik kao i zadana funkcija, čiji integral tražimo. U originalnom problemu, t = 3. Zamjenom toga u naše rješenje dobija se:

$\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}dx={\frac {2}{3^{3}}}={\frac {2}{27}}.$

Također pogledajte

• Integracione tehnike
• Integral
• Derivacija

Nedovršeni članak Integracija korištenjem parametarskih derivacija koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.