Fraktalna dimenzija

Fraktalna dimenzija je vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi. Postoji mnogo definicija fraktalne dimenzije, od kojih se niti jedna ne može smatrati univerzalnom. Najjednostavnija je dimenzija samosličnosti, ali se ona može upotrijebiti samo kod vrlo jednostavnih geometrijskih fraktala. Za teoriju je najvažnija Hausdorffova dimenzija, a u praksi se najviše koristi Minkowski-Bouligandova dimenzija.

Uvod

Aproksimacija dužine krive (u ovom slučaju, kružnice)

Kako mjeriti fraktale? Uzmimo za primjer Kochovu krivu. To je kriva, pa bi bilo logično mjeriti njenu dužinu, u metrima. Mjerit ćemo ju na način na koji mjerimo ostale nepravilne krive – aproksimacijom. Uzimamo sve manje i manje dužine i stavljamo ih uz krivulju te nam zbir njihovih dužina daje aproksimaciju dužine krive. Pokušajmo istom metodom izmjeriti dužinu Kochove krive. Recimo da je prvi segment dužine 1 m. To nam ne daje dovoljnu preciznost, pa uzimamo manje segmente. Nakon prve iteracije imamo četiri segmenta dužine 1/3 m. Zbir tih segmenata daje nam dužinu od 4/3 m. Ako nastavimo dalje, kriva će nakon treće iteracije imati dužinu 16/9 m. Matematičkom indukcijom dolazimo do opće formule ${\mathit {L}}=\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}$ , ako je n broj iteracija. Kod krivulje iz našeg primjera (s prvim segmentom dužine 1m) dužina krivulje nakon 128 iteracija bila bi približno jednaka jednoj svjetlosnoj godini (9.46∙10¹⁵m). Pošto "prava" Kochova kriva ima beskonačno mnogo iteracija, dolazimo do zaključka da je njena dužina beskonačna, kao i dužina svakog njenog segmenta.

Očito smo se prevarili u pokušaju mjerenja dužine Kochove krive, ali bismo joj možda mogli izmjeriti površinu, u kvadratnim metrima. Opet ćemo se poslužiti metodom aproksimacije. Nakon prve iteracije, aproksimacija površine je trougao površine ${\frac {\sqrt {3}}{12}}$. Sljedeće iteracije daju po četiri puta više sličnih trouglova devet puta manje površine. Opća formula površine glasi ${\frac {\sqrt {3}}{12}}\cdot \left({\frac {4}{9}}\right)^{n}$ . Kada n teži u beskonačno, drugi faktor (a time i cijela površina) teži nuli. Vidimo da površina Kochove krivulje ne postoji. Postavlja se pitanje: Ako ne možemo mjeriti ni dužinu ni površinu, kako možemo mjeriti fraktale?

Vidimo da je Kochova kriva "prevelika" da bi bila jednodimenzionalna linija, a "pretanka" da bi bila dvodimenzionalna površina. Dakle, vrijednost njene dimenzije bi trebala biti negdje između jedan i dva. Na neki način, za Kochovu krivu moramo naći mjernu jedinicu, m^d, koja je "između" metra i kvadratnog metra. Za d uzimamo vrijednost fraktalne dimenzije.

Dimenzija samosličnosti

Dimenzija samosličnosti koristi promjenu mjere (dužine, površine, volumena, itd.) u odnosu na mijenjanje broja iteracija kod potpuno samosličnih fraktala. Kod Kochove krivulje svaka sljedeća iteracija daje četiri puta više segmenata tri puta manje duljine. Ako broj segmenata označimo s N, a duljinu segmenta s L, ukupna će dužina krive biti NL. Za Kochovu krivu stoga vrijedi $4{\mathit {N}}\left({\frac {\mathit {L}}{3}}\right)={\mathit {N}}{\mathit {L}}^{\mathit {d}}$, ako za mjeru dužine uvrstimo spomenuti "d-dimenzionalni metar", md. Preuređivanjem jednadžbe dobijamo ${\mathit {d}}=\log _{3}4$, ili češće ${\mathit {d}}={\frac {\log 4}{\log 3}}$. Prema tome, mjerna jedinica za Kochovu krivu bi bila otprilike m^1.2619. Općenito, fraktalna dimenzija potpuno samosličnog fraktala računa se po formuli ${\mathit {d}}={\frac {\log {\mathit {N}}}{\log {\mathit {L}}}}$.

Minkowski-Bouligandova dimenzija

Odnos broja segmenata i duljina njihovih stranica

Uzmimo fraktal koji leži u ravni i prekrijmo ga proizvoljnim brojem M sukladnih kvadrata dužine stranice A. Smanjivanjem dužine kvadratâ (a time i povećavanjem njihova broja) mijenja se i broj kvadrata koji sadrže fraktal. Ova metoda koristi odnos broja tih kvadrata i dužine stranica. Pokušajmo tako odrediti dimenziju jednostavnih objekata, čija nam je dimenzija već poznata (razne definicije dimenzije ne bi trebale davati različite rezultate kod vrlo jednostavnih objekata), npr. kvadrata. Odnos broja kvadrata i dužina stranice možemo vidjeti na slici desno. Dobivamo opću formulu za kvadrat (za koji znamo da je dvodimenzionalan): ${\mathit {M}}={\frac {1}{{\mathit {A}}^{2}}}$. Ako učinimo istu stvar s dužinom (jednodimenzionalnom) i kockom (trodimenzionalnom), vidimo opće formule ${\mathit {M}}={\frac {1}{\mathit {A}}}$ i ${\mathit {M}}={\frac {1}{{\mathit {A}}^{3}}}$. Iz ova tri primjera vidimo opću formulu za objekte bilo koje dimenzije: ${\mathit {M}}={\frac {1}{{\mathit {A}}^{\mathit {d}}}}$, odnosno ${\mathit {d}}={\frac {\log {\mathit {M}}}{\log {\frac {1}{\mathit {A}}}}}$. Treba napomenuti da ova metoda ne daje potpuno tačne rezultate, te da joj se rezultati primiču stvarnima s povećanjem broja dužina, kvadrata, kocaka, itd. Koristi se kod određivanja fraktalne dimenzije nepravilnih objekata, npr. bifurkacijskog dijagrama populacijske jednačine.

Također pogledajte

• Topološka dimenzija
• Fraktal
• Teorija haosa