Epicikloida

Epicikloida (od grč. ὲπί -na, nad i grč. κυκλος-krug ) je kriva, koja se dobija kada se jedna kružnica kotrlja po drugoj kružnici sa centrom u ishodištu. Tada proizvoljna tačka pokretne kružnice opisuje epicikloidu.

JednačinaUredi

Izvedimo jednačine epicikloide. U centar stalnog kruga   poluprečnika   postavimo pravougli Dekartov koordinatni sistem. Tačka   pokretnog kruga K poluprečnika   u početku obrtanja imala je početni položaj A na osi  . Pošto kod ovog kretanja nema klizanja, lukovi   i   su jednaki i zato je

  pri ćemu je ugao   između duži   koja spaja centre krugova i poluprečnika   kružnice  . (dva poluprečnika pokretnog kruga: poluprečnika dodirne tačke   i poluprečnika tačke  , koja opisuje epicikloidu.)  

 

Iz

  i

  dobijamo  

odnosno

 

Slično se dobija za

 

Među uglovima   i   važi

 

Ugao   izrazimo preko   i dobićemo parametarske jednačine epicikloide:

 

 

Jednim svodom epicikloide podrazumjevamo dio krive koju posmatrana tačka   opisuje sa jednim obrtajem kruga   oko kruga  .

Ako je odnos poluprečnika kružnice racionalan broj, tada je kriva zatvorena i ima k šiljaka.

U slučaju da je k racionalan broj jednak p/q tada epicikloida ima p šiljaka.

U slučaju da je k iracionalan broj kriva se nikada ne zatvara, pa se dobija beskonačan broj šiljaka. Epiciklioida sa jednim šiljkom naziva se kardioida.

Ako je odnos   cio broj , možemo pričati o dužini luka i površini epicikloide. Pod dužinom luka epicikloide podrazumjevamo dužinu svodova . Površina epicikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima epicikloide.

Teorema 1Uredi

Dužina luka epicikloide je   , gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po spoljasšnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i   je broj svodova epicikloide.

Dokaz

Dužinu luka krive računamo po formuli

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dužina luka jednog svoda epicikloide

   

   

 

Teorema 2Uredi

Površina epicikloide je  ), gdje je b poluprecnik kruga koji se kreće po spoljašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i   je broj svodova epicikloide.

 

 

 

   

 

 

   .

Najpoznatije epicikloideUredi

Najpoznatija od svih epicikloida je kardioida koja se dobija u slučaju  .

Njene parametarske jednačine su:

 

 

Površina kardioide je  

Dužina luka je  


Za  , dobijamo nefroidu, sa parametarskim jednačinama:

 

 

Površina nefroide je  

Dužina luka je  

Jos su stari Grci primjetili da ako se paralelni snop svjetlosti odbija od ogledala intenzitet odbijene svjetlosti se pojacava duž neke krive, takozvane kaustike. Kod parabolickog ogledala to je kao sto znamo jedna tačka - fokus. Kod sfernog ogledala kaustika je upravo nefroida. Iako je termin nefroida korišten za opisivanje drugih krivi, u ovom našem slucaju Proktor je ove krive nazvao nefroidama 1878. godine Za   dobijamo ranunkuloidu

Parametarske jednačine su

 

 

Površina  

Duzžna luka  

Još neke epicikloide

IzvorUredi

Novi pristupi metričkim aspektimacikloide i njoj srodnih krivih