Kardioida

Kardioida je kriva linija koja je dobila ime po grčkoj riječi e καρδία ("srce"). Nastaje tako što pratimo tačku na kružnici koja se kotrlja oko fiksnog kruga istog prečnika. Specijalan slučaj je epicikloide kada obe kružnice imaju isti poluprečnik.

Jednačine

Kriva data u polarnim koordinatama

$r=a\left(1-\cos \phi \right)$

može se zapisati i na sljedeći način

$r=2b\left(1-\cos \phi \right)$ jer je $a=2b$

u Dekartovim koordinatama

$(x^{2}+y^{2}+ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$ ili

$(x^{2}+y^{2})-2ax(x^{2}+y^{2})-a^{2}b^{2}=0$

Parametarska jednačina

$x=acost(1-cost)$

$y=asint(1-cost)$

u kompleksnoj ravni to je $z=a(2e^{it}-e^{2it})$

Osobine

• Kardioida je algebarska kriva četvrtog reda.
• Ima samo jedan šiljak.
• Dužina jednoga kraka kardioide zadane formulom

$r=a\left(1-\cos \phi \right)$ data je sa $l=8a$

Dokaz

$x(\theta )=\rho (\theta )cos(\theta )$

$y(\theta )=\rho (\theta )sin(\theta )$

$\int ||{\dot {\gamma }}(\theta )||d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}d\theta$, pa onda slijedi:

${\sqrt {2}}a\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1+cos\theta }}d\theta =2a\int _{0}^{2\pi }|cos{\frac {\theta }{2}}|d\theta =8a\left[sin{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{\pi }=8a$

• Površina jednoga dijela kardioide je:

$P=3a^{2}{\frac {\pi }{2}}$

Dokaz

$\int dxdy=\int \rho d\rho d\theta$ ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}a^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-cos\theta )^{2}d\theta ={\frac {3}{2}}a^{2}\pi$

Tangentni ugao $\phi ={\frac {3t}{2}}$

Optika

Kardioida koja se dobija refleksijom

U optici se kardioida dobija prilikom refleksije na površini kružnoga oblika.

Izvor

Cardioid