Dirichletov integral

U matematici, postoji nekoliko integrala poznatih pod naziv Dirichletov integral, a naziv su dobili po njemačkom matematičaru Peteru Gustavu Lejeuneu Dirichletu.

Jedan od takvih je

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}

Ovo se može dokazati korištenjem Fourierove transformacije. Također, može se vrlo jednostavno izračunati korištenjem diferencijacijom pod znakom integrala.

Dokaz uz korištenje diferencijacije pod znakom integrala

Prvo ćemo integral napisati kao funkciju proizvoljne konstante, $\alpha$ i $\omega$ .

Neka je $f(\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega$

Zatim trebamo naći $f(0)$ nam daje

{\frac {df}{d\alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega

{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial \alpha }}e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}d\omega =-\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }\sin \omega \,d\omega

Ovaj integral može se učiniti jednostavnijim ako upotrijebimo Eulerovu formulu

e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega

Tada

\Im e^{i\omega }=\sin \omega

, gdje

\Im

predastavlja imaginarni dio.

Sad integral glasi:

-\Im \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }e^{i\omega }d\omega =\Im {\frac {1}{-\alpha +i}}=\Im {\frac {-\alpha -i}{\alpha ^{2}+1}}={\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}

Tako da je,

{\frac {df}{d\alpha }}={\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}

Integracijom obe strane od $0$ do $\infty$

\int _{0}^{\infty }{\frac {df}{d\alpha }}d\alpha =\int _{0}^{\infty }{\frac {-1}{\alpha ^{2}+1}}d\alpha

f(\infty )-f(0)=-\arctan \infty +\arctan 0

f(0)={\frac {\pi }{2}}+f(\infty )

Note that $f(\infty )=\lim _{\alpha \rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}{d\omega }=0$

Tako da je,

f(0)={\frac {\pi }{2}}

Tada

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}