Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum je latinski izraz za svođenje značenja na apsurd. Potiče od prevoda grčkog izraza (grčki: ἡ εις άτοπον απαγωγη - hi eis atopon apagogi).

Ovim postupkom se na početku dokaza pretpostavlja suprotno od onoga što se želi dokazati pokazujući da suprotan scenario bi doveo do apsurda ili kontradikcije. Ako se na kraju dokaza (u slijedu istinitih tvrdnji) dođe do kontradikcije, znači da je početna pretpostavka neodrživa i time je dokaz završen.

Ovdje se implicitno koristi zakon kontradikcije (odnosno zakon o neproturječnosti) koji tvrdi da jedna kategorična izjava ne može biti istovremeno i istinita i neistinita. Također je ovdje bitan i zakon isključenja treće mogućnosti. Dakle jedna kategorična izjava ne može biti istovremeno ni istinita ni neistinita. Drugim riječima, ako nije istinita, ona mora biti neistinita i obrnuto.

Historija

Ova logička metoda je ponikla kod starogrčkih filozofa. Predtostavlja se da prvi put nije upotrebljena u filozofskom ili matematičkom slučaju već kod filozofa sofista koji su ovu metodu koristili kao advokati u sudovima. Tada su dokazivali nevinost svojih štićenika započinjući riječima "pretpostavimo da je moj štićenik kriv..." (na latinskom: argumentum a contrario) i na kraju pokazivali kako to dovodi do proturječnosti sa postojećim dokazima. Na taj način su efektivno i elegantno dokazivali nevinost, a ova metoda je ubrzo postala prihvaćena od svih filozofa kao logički nepobitna.

Sokrat, veliki filozof ali ne i matematičar, je uveo hipotezu u matematičko mišljenje. On tvrdi da pored istine postoji i hipoteza, pretpostavka, tvrdnja, pa onda izvodi logičke posljedice. Ako se tom prilikom naiđe na proturječnost, tada je jedini uzrok bila loša pretpostavka, te se ona, kao takva, mora odbaciti. Zbog ovoga neki Sokrata smatraju utemeljivačem logike.

Sokratov učenik Platon je vodeći filozof helenskog doba, idealista, koji je u svojoj borbi protiv materijalista, atomista, išao tako daleko da je uništavao njihove spise , a protiv njihovih učenja i uticaja se borio dokazujući da su neistiniti. Atomistička misao je bila plodna u nekim poljima. U geometriji su uspjeli da dođu do formula za izračunavanje površine nekih figura ili zapremine nekih tijela svojim naivnim, ali ipak efektivnim metodama. Platon je poletni i naivni atomistički sistem odbacio i postavio sistem u kome se sva znanja baziraju na nekoliko osnovnih istina (aksioma) koje se ne dokazuju i ne mogu se dokazivati, već su date kao takve, i sve ostale koje se logički dokazuju odnosno izvode iz ovih istina. Jedna od omiljenih metoda postaje upravo dokazivanje svođenjem na proturječnost. Nešto kasnije Platonov učenik Eudoks Kniđanin pronalazi autentično novu metodu iscrpljivanja (ekshaustiju) i idealisti pobjeđuju u ovoj borbi.

Aristotel je dao ključni doprinos i sistematično razradio pitanja deduktivne logike. Kod njega se metoda svođenja na kontradikciju zove svođenje na nemoguće. Između ostalog je i objasnio zakon o neproturječnosti i zakon isključenja treće mogućnosti. Ova metoda je značajno oruđe logike u rukama Euklida i upravo u Elementima je odigrala ključnu ulogu u izgradnji logički zasnovane škole geometrije.

Međutim, najveći doprinos primjeni ove metode je dao Arhimed. On je u svojim spisima ovu metodu dotjerao do neslućenih razmjera čak prevazilazeći granice kojima je metoda predodređena. Arhimed je, prema sopstvenom priznanju, našao neke zabačene spise atomista sa njihovim genijalnim, ali logički slabo podupretim tvrdnjama i shvativši da su njihovi zaključci istiniti, uspio da nađe zaobilazne metode da do tih rezultata dođe na potpuno originalan, ali zbunjujući način. Ovo se saznalo tek dvadeset vijekova nakon njegove smrti, slučajnim pronalaskom jednog zabačenog spisa u kome je on otkrio kako je smišljao i pronalazio rješenja za komplikovane probleme koje je rješavao. Njegova metoda uvođenja međukoraka, zaobilaznih pretpostavki i lema, a potom svođenja na besmislicu početnih tvrdnji je i za matematičare 17. i 18. vijeka predstavljala izvor očajanja.

Ovako izgrađeni, Arhimedovi dokazi nisu davali uputstva kako ovu metodu primijeniti i na neke druge, srodne slučajeve. Današnjim rječnikom rečeno, ne vidi se kako se generički rješava jedna klasa problema. Tu se vidjelo još nedostataka ove metode. Ona je dobra za provjeru i dokazivanje rezultata (poznatog ili pogođenog) ali je loša za nalaženje novog, još nepoznatog rješenja. Stari matematičari su govorili da metoda više zbunjuje nego što razvija um, jer čitalac ne zna odakle se pojavilo rješenje, jer nema jasne slike o vezama između istina i postojanju uzročno posljedičnog lanca.

Primjeri

Slijedi dijalog kao primjer reductio ad absurdum:

Mama - Ne želim da se tetoviraš?

Sin - Zašto?

Mama - Zato što su tetovaže korištene u holokaustu.

Sin - Dobro, onda neću više nikada koristiti voz, kupati se, biti go, niti ću govoriti njemački.

Još jedan poznati primjer apsurda:

Mama - Zašto si počeo pušiti?

Sin - Svi moji drugovi puše?

Mama - Znači, ako bi svi tvoji drugovi skočili sa litice, i ti bi sa njima?