Racionalizacija (matematika)

U elementarnoj algebri racionalizacija korijena je proces kojim se eliminiše iracionalan broj u nazivniku razlomka.

Ovi iracionalni brojevi mogu biti monomi ili binomi koji sadrže kvadratne korijene. Postoje, također, razne verzije ove tehnike.

Racionalizacija monomnog kvadratnog korijena

U ovoj osnovnoj tehnici, brojnik i nazivnik moraju biti pomnoženi istim faktorom.

Primjer:

${\frac {10}{\sqrt {5}}}$

Kako bi racionalizovali ovu vrstu monoma, uvodimo faktor ${\sqrt {5}}$:

${\frac {10}{\sqrt {5}}}={\frac {10}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}^{2}}}$

Kvadratni korijen nestaje iz nazivnika, pošto je kvadriran (korijen i kvadrat se poništavaju):

${\frac {10{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{5}}$

Ovo daje rezultat, nakon pojednostavljenja:

${\frac {10{\sqrt {5}}}{5}}=2{\sqrt {5}}$

Operacija sa više kvadratnih korijena

Za nazivnik koji glasi:

${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

racionalizacija se može izvesti množenjem sa:

${\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

i primjenom identiteta razlike kvadrata, koji ovdje iznosi 1. Kako bi dobili ovaj rezultat, cijeli razlomak pomnožit ćemo sa

${\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}$ = 1

Ova tehnika vrijedi i u općenitijim slučajevima. Može se lahko prilagoditi da ukloni po jedan kvadratni korijen, npr. da bi racionalisali

$x+{\sqrt {y}}$

množenjem sa

$x-{\sqrt {y}}$.

Primjer:

${\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}$

Razlomak se mora pomnožiti sa količnikom koji sadrži ${{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}$.

${\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}$ · ${\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}}={\frac {3({{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}})}{{\sqrt {3^{2}}}-{\sqrt {5^{2}}}}}$

Sada možemo ukloniti kvadratne korijene u nazivniku:

${\frac {3{{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}})}{{\sqrt {3^{2}}}-{\sqrt {5^{2}}}}}={\frac {3({{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}})}{{3}-{5}}}={\frac {3({{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}})}{-2}}$

Reference

• George Chrystal, Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (ISBN 1-4021-5907-2); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189–199.