Piramida (geometrija)

Piramida je geometrijsko tijelo sastavljeno od baze (mnogokut, najčešće trokut ili pravokutnik) i stranica (trokuti).

Pravilna piramida

U deskriptivnom smislu piramida "nastaje" kada:

1. Postavimo bazu u neku ravninu (npr. horizontalna ravnina). Baza može biti bilo koji mnogokut (npr. kvadrat).
2. Visina je dužina kojoj je početna tačka u ravnini baze, a krajnja tačka izvan ravnine baze.
3. Spojimo krajnju tačku visine s vrhovima baze.

Podjela

S obzirom na bazu, piramide se dijele na trostrane (baza trokut), četverostrane (baza četverokut) ili višestrane/poligonalne (baza višekut/poligon). Ako je baza pravilni poligon (sve stranice jednake), tu piramidu nazivamo pravilna piramida (vidi sliku).

S obzirom na kut između ravnine baze i visine, piramide se dijele na uspravne (pravi kut) i na kose piramide (svaki kut koji nije pravi).

Tako se, na primjer, piramida kojoj je baza kvadrat a visina je dužina položena okomito iz središta kvadrata naziva pravilna uspravna četverostrana piramida.

Volumen i oplošje

Volumen piramide jednak je umnošku jedne trećine površine baze s dužinom visine:

${\mathit {V}}={\frac {1}{3}}{\mathit {B}}{\mathit {v}}$

${\frac {b}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-y)^{2}\,dy={\frac {-b}{3h^{2}}}(h-y)^{3}{\bigg |}_{0}^{h}={\tfrac {1}{3}}bh.$ Oplošje piramide jednako je zbroju površina baze i površina svih stranica.

${\mathit {O}}={\mathit {P}}(baza)+{\mathit {P}}(s_{1})+{\mathit {P}}(s_{2})+...+{\mathit {P}}(s_{n})\,\!$

Pravilna trostrana piramida

$s^{2}=H^{2}+({\frac {a{\sqrt {3}}}{3}})^{2}$

$\sin \omega ={\frac {H}{s}}$

$\cos \omega ={\frac {\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}{s}}$

$\tan \omega ={\frac {H}{\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}}$

$h^{2}=H^{2}+({\frac {a{\sqrt {3}}}{6}})^{2}$

$\sin \phi ={\frac {H}{h}}$

$\cos \phi ={\frac {\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}{h}}$

$\tan \phi ={\frac {H}{\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}}$

$s^{2}=h^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}$

$P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

$r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$

$R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$

$B={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

$M=3{\frac {ah}{2}}$

$P=B+M$

$P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}+3{\frac {ah}{2}}$

${\mathit {V}}={\frac {1}{3}}{\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}{\mathit {H}}$

Pravilna četverostrana piramida

$P=a^{2}$

$d=a{\sqrt {2}}$

$r={\frac {a}{2}}$

$R={\frac {d}{2}}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}$

$B=a^{2}$

$M=4{\frac {ah}{2}}$

$P=a^{2}+2ah$

$V={\frac {1}{3}}BH$

$V={\frac {1}{3}}a^{2}H$

$s^{2}=H^{2}+({\frac {d}{2}})^{2}$

$\sin \omega ={\frac {H}{s}}$

$\cos \omega ={\frac {\frac {d}{2}}{s}}$

$h^{2}=H^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}$

$\sin \phi ={\frac {H}{h}}$

$\cos \phi ={\frac {\frac {a}{2}}{h}}$

$s^{2}=h^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}$

Također pogledajte

• Konus