Osna simetrija

Aksioma simetrije

Za svaku pravu u ravni postoji jedna i samo jedna izometrija koja sve tačke prave ostavlja nepokretnim, a poluravan s jedne strane te ravni preslikava na poluravan s druge strane te prave.

Definicija 1

Izometriju u kojoj su sve tačke prave nepokretne i poluravan sjedne strane prave a preslikava se u poluravan s druge strane prave a naziva se osnom (axijalnom , lat ax-os) simetrijom prema pravoj a . ovu simetriju nazivamo još ogledanje (zrcanje) na pravoj a .

Simetrija čija je os simetrije prava a označavamo sa s₀

s_a(X) = X₁ ili s_a:X = X₁

Konstruktivni zadatak

Za datu tačku X konstruisati tačku s_a:X = X₁ Ako je tačka X na pravoj a znamo da je X = X₁.

Neka tačka X nije na pravoj a . Na osi a uzmimo dvije proizvoljne tačke A, B. Imamo A = A₁ i B = B₁. Pošto je s_a izometrija rastojanja između tačaka i njihovih slika moraju biti jednaka, tj AX = AX₁ i BX = BX₁ tačke X i X₁ jednako su udaljene od tačaka A i B , tj one leže na kružnicama k₁ ( A, AX) i k₂(B, BX) . znaći tačke X i X₁ su presječne tačke kružnica k₁ i k₂. One se zaista sijeku jer imaju zajedničku tačku X van zajedničke prave a. Tačke X i X₁ leže sa raznih strana prave a pa je druga presječna tačka X₁ kružnica i k₁ i k₂ slika tačke X.

Teorema 1

Izometrija u kojoj su sve tačke jedne prave nepokretne i poluravan s jedne strane te prave se preslikava na istu poluravnu je identična izometrija.

Neka je s_a(X) = X₁ Tda je tačka X slika X₁ u istoj izometriji, tj to znaći da su izometrija s_a i njoj obrnuta izometrija (s_a) ⁻¹ jedna ista permutacija.

Definicija 2

Ako za figuru F postoji prava a tako da je s_a(F) = F figura se preslikava sasvojom simetričnom slikom, kažemo da je F simetrična prema pravoj a za koju kažemo da je os simetrije. Ili simetrala figure F.

Odnosno: prava a je os simetrije figure F , ako je figura F nepokretna u preslikavanju s_a.

Definicija 3

Za pravu prazličitu od prave a kažemo da je normalna (upravna, okomita, ortogonalna)n na pravu a ako se simetrijom prava p preslikava na samu sebe.

Definicija 4

Za duž ili polupravu koja leži na pravoj p koja je okomita na pravu a kazačemo da je normalna na pravu a, također na duž ili polupravu koja se sadrži u pravoj a.

Teorema 3

Duž XX ₁ koja spaja par tačaka X i X₁ simetrićnih prema pravoj a preslikava se simetrijom na samu sebe., tj a je simetrala te duži. Duž je X X₁ je okomita na pravu a i prava a prolazi sredinom duži X X₁.

Teorema 4

Poluprava l kojoj je početak O nalazi se na osi, a i njena slika l₁. = s _a( l).

Teorema 5

Ako je prava p paralelna osi a onda je njena slika paralelna osi a.

Simetrija kružnica

Simetrična slika kružnica

Na osnovu činjenice da je osna simetrija izometrija imamo;

Teorema 6

Osnom simetrijom kružnica k se preslikava na kružnicu k₁((O ₁.,r) čiji je centar .O₁ simetričan centru O prve kružnice i radius jednak radiusu prve kružnice

Ako kružnica k i os simetrije a imaju zajedničkih tačaka onda te tačke pripadaju toj kružnici.

Simetrala kružnica

Teorema 7

Svaka prava koja prolazi kroz centar kružnice je njena os simetrije. To znači da kružnica ima beskonačno mnogo oso simetrije. Dijametralno raspoređene tačke A i B u kojima os simetrije siječe kružnicu so nepokretne , a svaka druga tačka kružnice preslikava se u sebi simetričnu tačku kružnice, koja leži s drugre strane osi a.

Simetrija para kružnica

Teorema 8

Presječne tačke dviju kružnica su simetrične prema zajedničkoj centralnoj pravoj c. Prava koja prolazi kroz te dvije tačke normalna je na pravu c. Prava c je zajednička simetrala zajedničke tetive tih kružnica.