Uniformna norma

Norme na R^2 su realne funkcije na R^2 koje posjeduju određene osobine.

Svaka norma definiše udaljenost (metriku), uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

Primjer

Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od neke fiksne tačke, pa će njen oblik zavisiti o normi u kojoj računamo, pa će, kružnice s obzirom na 1-normu i max-normu imati oblik kvadrata.

Kao i u euklidskoj geometriji, omjer obima i prečnika kružnice biće konstantan u svim p-normama. Taj omjer, koji označavamo s $\pi _{r}$, generalizira broj $\pi$.

Na $R^{2}$ često se koristi max-norma. To je poseban slučaj p-norme za $p=\infty$

$\lVert (x,y)\rVert _{\infty }=max\{|x|,|y|\}$ za $\{x,y\}\in R^{2}$

Teorema za max- normu definisanu sa

$\lVert (x,y)\rVert _{\infty }=max\{|x|,|y|\}$ za $\{x,y\}\in R^{2}$ vazi

$\lim _{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert _{p})=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }$ za $\forall (x,y)\in R^{2}$

Dokaz

$\lim _{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert _{p})=\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}})=$

${\begin{cases}\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}\ za\ |x|>|y|\\\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{2|}}\ za\|x|=|y|\\\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}\ za\|x|<|y|\end{cases}}$

Za $|x|>|y|$ je

$\lVert (x,y)\rVert _{\infty }=|x|$

${\frac {y}{x}}<1\Rightarrow \lim _{p\rightarrow \infty }|{\frac {y}{x}}|^{p}=0$

$\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }$

Za $|x|=|y|$ je

$\lVert (x,y)\rVert _{\infty }=|x|=|y|$

$\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{2}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }$

Za $|x|<|y|$ je

${\frac {x}{y}}<1\Rightarrow \lim _{p\rightarrow \infty }|{\frac {x}{y}}|^{p}=0$

$\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}=|y|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }$

Neka su $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ i $T_{2}=(x_{2},y_{2})$ neke dvije tačke ravni. Udaljenost između $T_{1}$ i $T_{2}$ s obzirom na normu $\lVert .\rVert$ računa se kao

$d(T_{1},T_{2})=\lVert (x_{1}-x_{2}),(y_{1}-y_{2})\rVert$

$d(T_{1},T_{2})_{p}=(|x_{1}|-|x_{2}|)^{p}+(|y_{1}|-|y_{2}|)^{p}$

Za tačke $T_{1}=(2,-3)$ i $T_{2}=(5,1)$ imamo

$d(T_{1},T_{2})=\lVert (2-5)+(-3-1)\rVert =\lVert (-3-4)\rVert =7$

$d_{2}(T_{1},T_{2})={\sqrt {(|2-5|)^{2}+(|-3-1|)^{2}={\sqrt {9+16}}}}=5$

$d_{\infty }(T_{1},T_{2})=max(|(2-5)|,|(-3-1)|)=4$

Ako nacrtamo tačke $T_{1}$ i $T_{2}$ u koordinatnom sistemu, tada je euklidska udaljenost

$d_{2}(T_{1},T_{2})={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-<_{2})^{2}}}$ jednaka duzini duzi ${\overline {T_{1}T_{2}}}$ dok je $d_{1}(T_{1},T_{2})=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$ dužina iscrtkanih putova od $T_{1}$ do $T_{2}$.

Uočimo da samo jedan put od $T_{1}$ do $T_{2}$ ima dužinu $d_{2}(T_{1},T_{2})$ i to je najkraći put između ove 2 tačke, dok $d_{1}(T_{1},T_{2})$ puteva ima više.

Iako smo naviknuti da udaljenost između dvije tačke računati kao dužinu najkraćeg puta, ponekad nam je korisniji neki drugi način računanja udaljenosti.

Primjer

Pretpostavimo da ulice u nekom gradu čine jednupravouglu mrežu. Želimo li doći od jednog do drugog mjesta u gradu, tj. od tačke $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ do $T_{2}=(x_{2},y_{2})$, onda će udaljenost koju ćemo preći biti dužina najkraćeg puta koji prolazi zadanim ulicama (što je upravo $d_{1}(T_{1},T_{2})$, a ne zraćna udaljenost $d_{2}(T_{1},T_{2})$ između ovih tačaka.

Sada je jasno zašto se $\lVert (x,y)\rVert _{1}$ često naziva taksi-norma, a ponekad i Manhattan-norma.

Reference

p-norme na $R^{2}$, kružnice $S_{p}$ i brojevi $\pi _{p}$ // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)