Leibnizova formula za determinante

U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice $A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}$

za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi S_n, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.

Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:

$\det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{A}_{1i_{1}}\cdots {A}_{ni_{n}},$

što je poznatije fizičarima.

Formalni iskaz i dokaz

Teorem

Postoji tačno jedna funkcija

$F:{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K}$

koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je $F(I)=1$.

Dokaz

Jedinstvenost: Neka $F$ bude funkcija, i neka $A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}$ bude matrica dimenzije $n\times n$. Reći ćemo da je $A^{j}$ $j$-ta kolona matrice $A$, to jest $A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}$, takvo da je $A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).$

Također, neka $E^{k}$ označava $k$-tu vektor kolonu matrice identiteta.

Tada se piše svaki $A^{j}$ član kao $E^{k}$, to jest

$A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}$.

Pošto je $F$ multilinearno, imamo da je

${\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}F\left(E^{k_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}\sum _{k_{2}=1}^{n}a_{k_{2}}^{2}F\left(E^{k_{1}},E^{k_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1},k_{2}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{2}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},E^{k_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\cdots \\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}$

Iz alternacije, slijedi da ako je $k_{1}=k_{2}$, tada imamo

${\begin{aligned}\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k_{2}},\dots ,E^{k_{1}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=0\end{aligned}}$

Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih $n$-tostrukosti $\left(k_{1},\dots ,k_{n}\right)$, i pošto $k_{i_{1}}=k_{i_{2}}$ implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao

$\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).$

Pošto je F alternativno, kolone $E$ se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija $\operatorname {sgn}(\sigma )$ definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:

${\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}$

gdje $F(I)$ treba da bude jednako $1$.

Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa $F\left(I\right)=1$.

Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.

Multilinearnost:

${\begin{aligned}F(A^{0},\dots ,c*A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*c*a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c*\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c*F(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{0},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*\left(b_{j}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*\left(\left(b_{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*b_{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{0},\dots ,b,\dots )+F(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}$

Alternativnost:

${\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)*a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}*a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}$

Sad neka $\omega$ bude mnogostrukost jednaka $\sigma$ sa zamijenjenim indeksima $j_{1}$ i $j_{2}$. Slijedi iz definicije $\operatorname {sgn}$ funkcije da je $\operatorname {sgn}(\sigma )=-sgn(\omega )$.

${\begin{aligned}\\F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\omega \in {\mathfrak {S}}_{n}}-\operatorname {sgn}(\omega )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\omega (i)}^{i}\right)*a_{\omega (j_{1})}^{j_{1}}*a_{\omega (j_{2})}^{j_{2}}\\&=-F(\dots ,A^{j_{2}},\dots ,A^{j_{1}},\dots )\\\\\end{aligned}}$

Konačno, $F(I)=1$:

${\begin{aligned}\\F(I)&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod _{i=1}^{n}I_{i}^{i}\\&=1\end{aligned}}$

Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s $F(I)=1$, su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija

$\det :{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K}$

sa ove tri osobine.

Također pogledajte

• Matrica (matematika)
• Kramerovo pravilo

Reference

• Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).