Leibnizova formula za determinante

U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:

za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi Sn, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.

Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:

što je poznatije fizičarima.

Formalni iskaz i dokazUredi

Teorem

Postoji tačno jedna funkcija

 

koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je  .

Dokaz

Jedinstvenost: Neka   bude funkcija, i neka   bude matrica dimenzije  . Reći ćemo da je    -ta kolona matrice  , to jest  , takvo da je  

Također, neka   označava  -tu vektor kolonu matrice identiteta.

Tada se piše svaki   član kao  , to jest

 .

Pošto je   multilinearno, imamo da je

 

Iz alternacije, slijedi da ako je  , tada imamo

 

Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih  -tostrukosti  , i pošto   implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao

 

Pošto je F alternativno, kolone   se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija   definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:

 

gdje   treba da bude jednako  .

Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa  .

Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.

Multilinearnost:

 

Alternativnost:

 

Sad neka   bude mnogostrukost jednaka   sa zamijenjenim indeksima   i  . Slijedi iz definicije   funkcije da je  .

 

Konačno,  :

 

Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s  , su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija

 

sa ove tri osobine.

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  • Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).