Konjugovan kompleksan broj

U matematici, konjugovan kompleksan broj je broj kome je promijenjen znak imaginarnog dijela, tj. konjugat broja $z=a+ib$ gdje $a,b\in \mathbb {R}$ je broj ${\bar {z}}=a-ib$. Često se koristi i oznaka ${\bar {z}}$.

Geometrijski prikaz (Argandov dijagram) broja $z$ i njegove konjugacije ${\overline {z}}$ u kompleksnoj ravni. Konjugovan kompleksan broj se pronalazi reflektovanjem broja $z$ preko realne ose.

Primjer: ${\overline {(3-2i)}}=3+2i$, ${\bar {i}}=-i$ i ${\bar {7}}=7$.

Ako posmatramo kompleksni broj kao tačku u ravni, konjugat kompleksnog broja bio bi predstavljen njegovim odrazom od x-ose (pošto se na y-osi nalazi imaginarni dio).

Svojstva

Svojstva se odnose na sve kompleksne brojeve ako nije drugačije rečeno.

${\overline {(z+w)}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {(zw)}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ ako je w različit od 0

${\bar {z}}=z$ ako je z realan broj

$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^{2}=z{\bar {z}}$

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ ako je z različit od 0

Ako je $p\,$ polinom sa realnim koeficijentima, i ako je $p(z)=0\,$, tada je i $p({\bar {z}})=0$, tj. korijeni polinoma sa realnim koeficijentima se pojavljuju kao konjugovani kompleksni brojevi ako nisu na realnoj pravoj.