Hardyjeva nejednakost

Hardyjeva nejednakost je nejednakost u matematici, koja je dobila naziv po G. H. Hardyju. Ona iskazuje da ako je $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ niz nenegativnih realnih brojeva koji nisu identički jednaki nuli, tada, za svaki realan broj p > 1, imamo da je

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.$

Integralna verzija Hardyjeve nejednakosti kaže da ako je f integrabilna funkcija sa nenegativnim vrijednostima, tada je

$\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\operatorname {d} x\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.$

Isto važi ako i samo ako je f(x) = 0 skoro svuda.

Hardyjeva nejednakost prvo je objavljena (bez dokaza) 1920. godine u Hardyjevin bilješkama. Originalna formulacija bila je integralna, koja se malo razlikovala od gore nevedenog oblika.

Također pogledajte

• Carlemanova nejednakost

Reference

• Hardy, G. H. (1952). Inequalities, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0521358809.

• Kufner, Alois (2003). Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific Publishing. ISBN 9812381953.