Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Gudermannianova funkcija , nazvana po Christophu Gudermannu (1798 . – 1852 . godina), povezuje kružne i hiperboličke funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva .
Gudermannova funkcija sa njenim asimptotama y=±π/2 (plava boja). Definisana je sa
g
d
(
x
)
=
∫
0
x
d
p
cosh
(
p
)
=
arcsin
(
tanh
(
x
)
)
=
arccsc
(
coth
(
x
)
)
=
arccos
(
sech
(
x
)
)
=
arcsec
(
cosh
(
x
)
)
=
arctan
(
sinh
(
x
)
)
=
arccot
(
csch
(
x
)
)
=
2
arctan
(
tanh
(
x
2
)
)
=
2
arctan
(
e
x
)
−
π
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)&=\int _{0}^{x}{\frac {dp}{\cosh(p)}}\\&=\arcsin \left(\tanh(x)\right)={\mbox{arccsc}}\left(\coth(x)\right)\\&=\arccos \left({\mbox{sech}}(x)\right)={\mbox{arcsec}}\left(\cosh(x)\right)\\&=\arctan \left(\sinh(x)\right)={\mbox{arccot}}\left({\mbox{csch}}(x)\right)\\&=2\arctan \left(\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)\right)=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}\,\!}
Sljedeći identiteti, također, važe:
sin
(
gd
(
x
)
)
˙
=
tanh
(
x
)
;
csc
(
gd
(
x
)
)
=
coth
(
x
)
;
cos
(
gd
(
x
)
)
=
sech
(
x
)
;
sec
(
gd
(
x
)
)
=
cosh
(
x
)
;
tan
(
gd
(
x
)
)
=
sinh
(
x
)
;
cot
(
gd
(
x
)
)
=
csch
(
x
)
;
.
tan
(
gd
(
x
)
2
)
=
tanh
(
x
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\color {white}{\dot {\color {black}\sin({\mbox{gd}}(x))}}}&=\tanh(x);\quad \csc({\mbox{gd}}(x))=\coth(x);\\\cos({\mbox{gd}}(x))&={\mbox{sech}}(x);\quad \,\sec({\mbox{gd}}(x))=\cosh(x);\\\tan({\mbox{gd}}(x))&=\sinh(x);\quad \,\cot({\mbox{gd}}(x))={\mbox{csch}}(x);\\{}_{\color {white}.}\tan \left({\frac {{\mbox{gd}}(x)}{2}}\right)&=\tanh \left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}\,\!}
Inverzna Gudermannova funkcija. Inverzna Gudermannova funkcija je data sa
arcgd
(
x
)
=
g
d
−
1
(
x
)
=
∫
0
x
d
p
cos
(
p
)
=
arccosh
(
sec
(
x
)
)
=
arctanh
(
sin
(
x
)
)
=
ln
(
sec
(
x
)
(
1
+
sin
(
x
)
)
)
=
ln
(
tan
(
x
)
+
sec
(
x
)
)
=
ln
tan
(
π
4
+
x
2
)
=
1
2
ln
1
+
sin
(
x
)
1
−
sin
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{arcgd}}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dp}{\cos(p)}}\\&={}{\mbox{arccosh}}(\sec(x))={\mbox{arctanh}}(\sin(x))\\&={}\ln \left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\&={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\\&={}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin(x)}{1-\sin(x)}}.\end{aligned}}\,\!}
Derivacije Gudermannove funkcije i njenih inverzna su
d
d
x
gd
(
x
)
=
sech
(
x
)
;
d
d
x
arcgd
(
x
)
=
sec
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\;{\mbox{gd}}(x)={\mbox{sech}}(x);\quad {\frac {d}{dx}}\;{\mbox{arcgd}}(x)=\sec(x).\,\!}
