Zlatni trougao

U matematici zlatni trougao je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak zlatnom broju.

${a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.$

$\Theta =2\sin ^{-1}({\frac {b}{2a}})=2\sin ^{-1}\left({\frac {b}{2\varphi }}\right)={\frac {\pi }{5}}$

Može se naći unutar pravilnog Ikosaedra, dodekaedra i petougla, pentagrama, desetougla..

$\theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.$

Kako je zbir uglova trougla 180^o, to su uglovi na osnovici zlatnog trougla po 72^o.

To je jedini trougao kod koga se uglovi nalaze u omjeru $2:2:1.$

$a:b={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Sa slike je

$\sin({\frac {\alpha }{2}})={\frac {\frac {a}{2}}{b}}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}=\sin({\frac {\pi }{10}})$

Iz ovog slijedi da je

${\frac {\alpha }{2}}={\frac {\pi }{10}}\Rightarrow \alpha ={\frac {\pi }{5}}\Rightarrow \alpha =36^{\circ }$

Pomoću ovog trougla crta se logaritamska spirala

Svi zlatni trouglovi su slični. To proizlazi iz stava U-U-U o sličnosti trouglova.

Omjer poluprečnika pravilnom desetetouglu opisane kružnice i dužine stranice toga desetougla jednak je zlatnom broju.

$R={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}a$

Zlatni trougao nalazimo i unutar pravilnog petougla

$S_{5}=(5-2)180^{\circ }=540^{\circ }$

$\gamma =540^{\circ }/5=108^{\circ }$

$\delta =(108^{\circ }-\gamma )/2=36^{\circ }$

$\beta +\delta =108^{\circ }=>\beta =72^{\circ }$

Zlatni gnomom je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak ${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$.Njegovi uglovi su $36^{\circ },36^{\circ },108^{\circ }$