Ugao između pravih

Glavni članak: Prava (geometrija)

Neka prave a,b čine uređen par (a,b). Ako su one orjentisane prave onda za ugao između njih uzimamo ugao koji čine poluprave h, k tih pravih i koje imaju smjer pravi a, b.

Ako su prave a i b razlićite prave one čine 4 konveksna ugla, od kojih su dva i dva unakrsna i jednaka ugla. Oni se dopunjavaju.

Uglom između pravih smatramo bilo koji od ta dva ugla.

Ugao između pravih p i q definišemo kao oštar ugao između njihovih normalnih vektora, tj. $\angle (p,q)=arccos{\frac {\mid {\overrightarrow {p}}{\overrightarrow {q}}\mid }{\mid {\overrightarrow {p}}\mid \mid {\overrightarrow {q}}\mid }}$

Neka su date 2 prave $p_{1}$ i $p_{2}$ i neka su njihove jednačine:

$y=k_{1}x+n_{1}$

$y=k_{2}x+n_{2}$

ugao $\varphi$ između pravih $p_{1}$ i $p_{2}$ određen je sa

$tg\varphi ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}$

Ako je $1+k_{1}k_{2}=0$ prave su normalne tj $\varphi =\pm 90^{o}$ tj uslov normalnosti je

$k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}$

Prave

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}$ i

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}$

sijeku se u tački

$x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.$

Ugao koji čine te 2 prave definisan je formulom

$\mathrm {tg} \varphi ={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.$

Zadane prave su

• paralelne ako je $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ ili $k_{1}=k_{2}$,
• normalne ako je $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ ili $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}$.

Prave koje prolaze kroz tačku $M_{0}(x_{0},y_{0})$ i sa pravom $Ax+By+C=0$ obrazuju ugao $\gamma$ imaju jednačinu

$y-y_{0}={\frac {Btg\gamma -A}{Btg\gamma +A}}(x-x_{0})$

$y-y_{0}={\frac {Btg\gamma +A}{Btg\gamma -A}}(x-x_{0})$

Izvori

• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»
• La recta
• Jednačina prave Arhivirano 13. 2. 2021. na Wayback Machine