Torus

Torus je obrtna površ koja se dobija kada se rotira kružnica u trodimenzionom prostoru oko ose komplanarne sa kružnicom, a koja ne dodiruje krug.

Torus
Sphere-like degenerate torus.gif
  1. Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu površ ima oblik prstena i naziva se prstenasti torus ili samo torus.
  2. U slučaju da je osa rotacije tangenta kružnice dobijena površ se naziva rog torus
  3. kada za osu rotacije uzmemo tetivu kružnice rezultujuća površ je vretenasti torus.

JednačinaUredi

Kao takva površ torus ima "rupu". Ako označimo sa c radijus od centra "rupe" do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove parametarske jednačine:

  za   [1]

gdje su   i   uglovi koji čine puni krug, tako da njihove vrijednosti počinju i završavaju u istoj tački

  je udaljenost od centra cijevi do središta torusa,   je promjer cijevi.   je glavni radijus, a   sporedni radijus.

Implicitna jednačina u Kartezijevim koordinatama je

 

Površina i zapreminaUredi

Površina torusa je

  [2][3]

a zapremina

 

 

Dokaz

 

 

 

Prema Pitagorinoj teoremi imamo

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Prstenasti torusUredi

Parametarska jednačina prstenastog torusa je

 

za    

Koficienti prve kvadratne forme su

 
 
 

dok za koeficiente druge kvadratne forme dobijamo

 
 
 

Gausova i srednja kriva su date sa:

 

 

Rog torusUredi

Uzimajući u jednačini

 

da je   dobijamo parametarsku jednačinu rog torusa [4]

 

Za koeficiente prve kvadratne forme dobijamo:

 
 
 

dok su koeficienti druge kvadratne forme rog torusa:

 
 
 

Vretenasti torusUredi

Kod vretenastog torusa parametarska jednačina, formule za koeficiente prve i druge kvadratne forme i formule za izračunavanje srednje i Gausove krive su iste kao i kod prstenastog torusa, uz uslov  .

IzvoriUredi

Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Niš, novembar 2013.[mrtav link]

ReferenceUredi

  1. ^ parametarska jednačina 06. juli 1995
  2. ^ ring torus
  3. ^ površina torusa
  4. ^ Horn torus Niš novembar 2013[mrtav link]