Proširena matrica
U linearnoj algebri, proširena matrica je matrica dobivena dodavanjem kolona dvije date matrice, obično iz razloga izvršenja istih elementarnih operacija na svakoj od datih matrica.
Date su matrice A i B, gdje je
pa je proširena matrica (A|B) napisana kao
Proširena matrica se također može koristiti da se pronađe inverzna matrica kombinacijom proširene i jedinične matrice.
Primjeri
urediInverzna matrica
urediNeka C bude kvadratna matrica 2×2
Da bi našli inverz od C pravimo (C|I) gdje je I jedinična matrica 2×2. Zatim se reducira dio (C|I) oji odgovara C do jedinične matrice korištenjem elementarnih operacija sa redovima na (C|I).
- ,
gdje je desni dio inverz od originalne matrice.
Postojanje i broj rješenja
urediZamislimo sistem jednačina
- x + y + 2z = 3
- x + y + z = 1
- 2x + 2y + 2z = 2.
Koeficijent matrice je
dok proširena matrica glasi
Pošto obje imaju isti rang, koji iznosi 2, postoji najmanje jedno rješenje; pošto je njihov rang manji od broja nepoznatih, kojih ima tri, postoji beskonačan broj rješenja.
U suprotnosti, zamislimo sistem
- x + y + 2z = 3
- x + y + z = 1
- 2x + 2y + 2z = 5.
Koeficijent matrice je
dok proširena matrica glasi
U ovom primjeru, matrica koeficijenata ima rang 2, dok proširena matrica ima rang 3; tako da ovaj sistem jednačina nema rješenja.
Reference
uredi- Marvin Marcus and Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Stranica 31.