Proširena matrica

U linearnoj algebri, proširena matrica je matrica dobivena dodavanjem kolona dvije date matrice, obično iz razloga izvršenja istih elementarnih operacija na svakoj od datih matrica.

Date su matrice A i B, gdje je

pa je proširena matrica (A|B) napisana kao

Proširena matrica se također može koristiti da se pronađe inverzna matrica kombinacijom proširene i jedinične matrice.

PrimjeriUredi

Inverzna matricaUredi

Neka C bude kvadratna matrica 2×2

 

Da bi našli inverz od C pravimo (C|I) gdje je I jedinična matrica 2×2. Zatim se reducira dio (C|I) oji odgovara C do jedinične matrice korištenjem elementarnih operacija sa redovima na (C|I).

 
 ,

gdje je desni dio inverz od originalne matrice.

Postojanje i broj rješenjaUredi

Zamislimo sistem jednačina

x + y + 2z = 3
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 2.

Koeficijent matrice je

 

dok proširena matrica glasi

 

Pošto obje imaju isti rang, koji iznosi 2, postoji najmanje jedno rješenje; pošto je njihov rang manji od broja nepoznatih, kojih ima tri, postoji beskonačan broj rješenja.

U suprotnosti, zamislimo sistem

x + y + 2z = 3
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 5.

Koeficijent matrice je

 

dok proširena matrica glasi

 

U ovom primjeru, matrica koeficijenata ima rang 2, dok proširena matrica ima rang 3; tako da ovaj sistem jednačina nema rješenja.

ReferenceUredi