Razlika između verzija stranice "Euklidski vektor"

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju -{K}-. Na primjer:<br /><br />

<math>a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n)</math>, <math>a_i \in K</math>, <math>i = 1, ... ,n</math><br /><br />

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.<br /><br />

<math>\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n</math><br />

<math>|a| = \sqrt{{\sum_{i=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}</math><br /><br />

Množenje vektora <math>\overrightarrow{a} \in K^n</math> nekim skalarom <math>\alpha \in K</math> je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je [[komutativnost|komutativna]].<br /><br />

<br /><br />

<math>\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)</math><br />

<math>\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)</math><br /><br />

<br /><br />

<math>+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,</math><br />

<math>\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}</math>, <br />

<math>c_i = a_i + b_i\,</math>, gde je <math>i=1,...,n\,</math><br /><br />

Pri čemu će vektor -{''c''}- biti iz prostora <math>K^n\,</math>. '''Oduzimanje''' vektora bi se vršilo po sličnom principu:<br /><br />

<math>\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})</math><br /><br />

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja -{K}-. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz <math>K^n</math> u stvari jedan skalar iz -{K}-. Konkretno za dva vektora -{''a''}- i -{''b''}- iz <math>K^n</math> bi proizvod -{''k''}- izgledao ovako:<br /><br />

<math>\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K</math><br />

<math>k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}</math>, <math>k \in K</math><br />

<math>k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}</math>, gde je <math>i=1,...,n</math><br /><br />

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora takođe jednak<br /><br />

<br /><br />

pri čemu je <math>\omega</math> ugao između -{''a''}- i -{''b''}-.<br /><br />

Ovo zapravo znači i:<br /><br />

<math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}</math><br /><br />

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (<math>E^3\,</math>) je '''vektorski proizvod'''. Definiše se na sljedeći način:<br /><br />

<math>\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3</math><br />

<math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =</math> <math>\overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)=</math> <math>\begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}</math><br /><br />

Jer su <math>\overrightarrow{i}=(1,0,0)</math>, <math>\overrightarrow{j}=(0,1,0)</math> i <math>\overrightarrow{k}=(0,0,1)</math> vektori kanonske baze <math>E^3\,</math>.<br /><br />

<math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}</math>, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.<br />

<math>|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega</math>, gde je <math>\omega</math> ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.<br />

<math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})</math>, tj. vektorski proizvod nije komutativan.<br />

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz <math>E^3</math> preslikava u skalar iz -{E}-. Zapisuje se sa <math>[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]</math>. A po definiciji je:<br /><br />

<br /><br />

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:<br /><br />