Cotlar–Steinova lema
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
U matematici, u oblasti funkcionalne analize, Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti, koja je naziv dobila po matematičarima Mischai Cotlaru i Eliasu Steinu. Može se koristiti za dobijanje informacija o operatorskoj normi operatora, koji djeluje iz jednog Hilbertovog prostora u drugi, kada se operator može razložiti u skoro ortogonalne dijelove.
Originalnu verziju ove leme (za samopridružene i međusobno komutativne operatore) dokazao je Mischa Cotlar 1955. godine, što ga je dovelo do zaključka da je Hilbertova transformacija neprekidni linearni operator u , bez korištenja Fourierove transformacije.
Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti
urediNeka budu dva Hilbertova prostora. Razmotrimo familiju operatora , , gdje je svaki neprekidni linearni operator iz u .
Naznačimo
Familija operatora , je skoro ortogonalna ako je
Cotlar–Steinova lema kaže da ako je skoro ortogonalno, tada red konvergira u topologiji jakog operatora, i da je
Primjer
urediSlijedi primjer ortogonalne familije operatora. Razmotrimo matrice beskonačnih dimenzija
i, također
Tada je za svako , odakle slijedi da red ne konvergira u topologiji uniformnog operatora.
Ipak, pošto je i za , Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti govori nam da
konvergira u topologiji jakog operatora, te da je ograničen sa 1.
Reference
uredi- Mischa Cotlar, A combinatorial inequality and its application to spaces, Math. Cuyana 1 (1955), 41-55
- Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5