Cotlar–Steinova lema

U matematici, u oblasti funkcionalne analize, Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti, koja je naziv dobila po matematičarima Mischai Cotlaru i Eliasu Steinu. Može se koristiti za dobijanje informacija o operatorskoj normi operatora, koji djeluje iz jednog Hilbertovog prostora u drugi, kada se operator može razložiti u skoro ortogonalne dijelove.

Originalnu verziju ove leme (za samopridružene i međusobno komutativne operatore) dokazao je Mischa Cotlar 1955. godine, što ga je dovelo do zaključka da je Hilbertova transformacija neprekidni linearni operator u , bez korištenja Fourierove transformacije.

Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti

uredi

Neka   budu dva Hilbertova prostora. Razmotrimo familiju operatora  ,  , gdje je svaki   neprekidni linearni operator iz   u  .

Naznačimo

 

Familija operatora  ,   je skoro ortogonalna ako je

 

Cotlar–Steinova lema kaže da ako je   skoro ortogonalno, tada red   konvergira u topologiji jakog operatora, i da je

 

Primjer

uredi

Slijedi primjer ortogonalne familije operatora. Razmotrimo matrice beskonačnih dimenzija

 

i, također

 

Tada je   za svako  , odakle slijedi da red   ne konvergira u topologiji uniformnog operatora.

Ipak, pošto je   i   za  , Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti govori nam da

 

konvergira u topologiji jakog operatora, te da je ograničen sa 1.

Reference

uredi
  • Mischa Cotlar, A combinatorial inequality and its application to   spaces, Math. Cuyana 1 (1955), 41-55
  • Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5

Vanjski linkovi

uredi