Binet–Cauchyjev identitet

U algebri, Binet–Cauchyjev identitet, koji je naziv dobio po Jacquesu Philippeu Marie Binetu i Augustinu Louisu Cauchyju, kaže da je

${\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

za svaki izbor realnih ili kompleksnih brojeva (ili općenitije, elemenata komutativnog prstena). Ako uzmemo da je a_i = c_i i b_i = d_i, dobijamo Lagrangeov identitet, koji je jača varijanta Cauchy-Schwarzove nejednakosti za Euklidov prostor $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$.

Binet–Cauchyjev identitet i vanjska algebra

Kada je n = 3, prvi i drugi član na desnoj strani postaju kvadratni intenziteti skalarnih i vektrskih proizvoda, respektivno; u n dimenzija ovi postoju intenziteti skalarnih i vanjskih proizvoda. To možemo zapisati kao

$(a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)\,$

gdje su a, b, c i d vektori. Također se može zapisati kao formula koja daje skalarni proizvod dva vanjska proizvoda

$(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c).\,$

Dokaz

Proširenjem posljednjeg člana,

$\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

$=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}$

gdje su drugi i četvrti član dodani kako bi kompletirali sumu, kao što slijedi:

$=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.$

Ovim je dokaz zavešen, nakon što se faktorišu članovi sa indeksom i.