Bernoullijeva lemniskata

Bernulijeva lemniskata (lat. lemniscus < grč. λημνίσϰος: vunena vrpca), algebarska kriva četvrtog reda, oblika osmice, poseban slučaj Cassinijeva ovala. Lemniskata je u pravouglom Kartezijevom koordinatnom sistemu ima jednačinu

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0$,

gdje je $e$ polovima udaljenosti između žarista (fokusa). Koordinantni početak je čvorna tačka i tačka infleksije.

$\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}a^{2}}}-x^{2}-a^{2}}}$

1694. god. opisao ju je Jakob Bernoulli, kao modifikacijuelipse, koja je geometrijsko mjesto tačaka za koje je zbir udaljenosti od dvije fiksne tačke, konstantan.

Za razliku od nje, lemniskata je geometrijsko mjesto tačaka za koje je proizvod ovih udaljenosti konstantan. Bernoulli je ovu krivu nazvao lemniscus, što je latinski naziv za ukrasnu traku.

Lemniskata se može dobiti inverznom transformacijom hiperbole, inverzijom u odnosu na krug čije je središte u središtu hiperbole.

Površina lemniskate P= a^2

dužina luka lemniskate $s((t)={\frac {a}{2\pi }}{\begin{bmatrix}\Gamma ({\frac {1}{4}})\end{bmatrix}}^{2}$

zakrivljenost lemniskate $k(t)={\frac {3{\sqrt {2}}cos\theta }{a{\sqrt {3-cos2\theta }}}}$

Dužina lemniskate $L==4a(1+{\frac {1}{2*5}}+{\frac {1*3}{2*4*9}}+...1$

Crtanje

Bernulijevu lemniskatu crtamo tako što nacrtamo krug sa centrom u C, a zatim označimo tačku O čije je rastojanje od centra ${\sqrt {2}}$ puta veće od poluprečnika. Kroz tačku O povučemo proizvoljnu pravu koja seiječe krug u Q i Q′ i na toj pravoj označimo tačke P i P′ koje su na udaljenosti QQ′ od O. Postupak ponavljamo za različite položaje prave kroz tačku O i sve tako dobijene tačke su tačke Bernulijeve lemniskate. L

Jednačina

Parametarska jednačina

${\begin{cases}x=e{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=e{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}$, gdje je $p^{2}=\operatorname {tg} {\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}$

Polarna jednačina

Njena polarna jednačina je

$r^{2}=a^{2}cos2\theta$

$cos2\theta \geqslant 0$ za $\theta \in [0,\pi /4]\cup [3\pi /4,5\pi /4]\cup [7\pi /4,2\pi ]$

Bipolarna jednačina

$rr'={\frac {a^{2}}{2}}$

Površina

$P_{1}=\int _{0}^{\pi /4}r^{2}d\varphi =\int _{0}^{\pi /4}a^{2}cos(2\varphi )d\varphi ={\frac {a}{2}}sin(2\varphi )|_{0}^{\pi /4}=a^{2}/4$

$P=4P_{1}=a^{2}$

Izvor

Površina ravninskog lika

Bernoullijeva lemniskata

NEKE POZNATE RAVANSKE KRIVE