Bernoullijeva lemniskata

Bernulijeva lemniskata (lat. lemniscus < grč. λημνίσϰος: vunena vrpca), algebarska kriva četvrtog reda, oblika osmice, poseban slučaj Cassinijeva ovala. Lemniskata je u pravouglom Kartezijevom koordinatnom sistemu ima jednačinu

Lemniscate.png

,

gdje je polovima udaljenosti između žarista (fokusa). Koordinantni početak je čvorna tačka i tačka infleksije.

1694. god. opisao ju jeJakob Bernoulli, kao modifikaciju elipse, koja je geometrijsko mjesto tačaka za koje je zbir udaljenosti od dvije fiksne tačke, konstantan.

Za razliku od nje, lemniskata je geometrijsko mjesto tačaka za koje je proizvod ovih udaljenosti konstantan. Bernoulli je ovu krivu nazvao lemniscus, što je latinski naziv za ukrasnu traku.

Lemniskata se može dobiti inverznom transformacijom hiperbole, inverzijom u odnosu na krug čije je središte u središtu hiperbole.

Površina lemniskate P= a^2

dužina luka lemniskate

zakrivljenost lemniskate

Dužina lemniskate

CrtanjeUredi

Bernulijevu lemniskatu crtamo tako što nacrtamo krug sa centrom u C, a zatim označimo tačku O čije je rastojanje od centra   puta veće od poluprečnika. Kroz tačku O povučemo proizvoljnu pravu koja seiječe krug u Q i Q′ i na toj pravoj označimo tačke P i P′ koje su na udaljenosti QQ′ od O. Postupak ponavljamo za različite položaje prave kroz tačku O i sve tako dobijene tačke su tačke Bernulijeve lemniskate. L

JednačinaUredi

Parametarska jednačinaUredi

 , gdje je  

Polarna jednačinaUredi

Njena polarna jednačina je

 

  za  

Bipolarna jednačinaUredi

 

PovršinaUredi

 

 

IzvorUredi

Površina ravninskog lika

Bernoullijeva lemniskata

NEKE POZNATE RAVANSKE KRIVE