Bernoullijeva diferencijalna jednačina

U matematici, obična diferencijalna jednačina oblika

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

naziva se Bernoullijeva diferencijalna jednačina kada je n≠1, 0. Bernoullijeve jednačine su posebne, pošto su one nelinearne diferencijalne jednačine sa poznatim egzaktnim rješenjima. Dijeljenjem sa $y^{n}$ dobijamo

${\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x).$

Zamjenom varijabli pretvaramo je u linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda.

$w={\frac {1}{y^{n-1}}}$

$w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'$

${\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)$

Dobijena jednačina može se riješiti korištenjem integracionog faktora

$M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}.$

Primjer

Razmatrajmo Bernoullijevu jednačinu

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

Dijeljenjem sa $y^{2}$ dobijamo

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

Zamjenom varijabli dobijamo jednačine

$w={\frac {1}{y}}$

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.$

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}$

koje se mogu riješiti korištenjem integracionog faktora

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.$

Množenjem sa $M(x)$, dobijamo

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$

Uočite da je lijeva strana derivacija od $wx^{2}$. Integracijom obe strane dobijamo jednačine

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

Rješenje za $y$ je

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}$

Vanjski linkovi

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7032