Razlika između verzija stranice "L'Hôpitalovo pravilo"

U [[kalkulus]]u, '''L'Hôpitalovo pravilo''' omogućava nalaženje izvijesnih [[granična vrijednost funkcije|graničnih vrijednosti]] sa "[[neodređeni oblik|neodređenim oblicima]]" pomoću [[derivacija|izvoda]]. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavaјućiomogućavajući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo je dobilo ime po francuskom matematičaru iz [[17. vijek]]a po imenu [[Guillaume de l'Hôpital|Guillaumeu de l'Hôpital]], koji je obјavioobjavio pravilo u svoјoјsvojoj knjizi ''Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes'' (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) ([[1696]]. godina), što je prva knjiga o [[diferenciјalnadiferencijalna analiza|diferenciјalnoјdiferencijalnoj analizi]].

Vjeruje se da je pravilo djelo [[Johann Bernoulli|ЈohannaJohanna BernoulliјaBernoullija]], pošto je l'Hôpital, koji je bio plemić, plaćao BernoulliјuBernoulliju 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima je bio limes neodređenih oblika. Kada je l'Hôpital obјavioobjavio knjigu, dao je zasluge BernoulliјuBernoulliju, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad je obјavioobjavio anonimno. Bernoulli, koji je bio vrlo ljubomoran, je tvrdio da je on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da je tako. Pa ipak, pravilo je nazvano po l'Hôpitalu, koji nikad nije ni tvrdio da ga je izmislio.<ref>''Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.''</ref>.

Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoјipostoji limes <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>. Ostali uslovi su detaljnije izloženi u formalnom iskazu.

l'Hôpitalov pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrijednosti razlomka <math>f(x)/g(x) \ </math> kada se i ''f'' i ''g'' bliže 0, ili se i ''f'' i ''g'' bliže beskonačnosti. l'Hôpitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrijednost možemo naći računaјućiračunajući limes razlomka <math>f'/g' \ </math>, ali naravno samo ako ovaj postoјipostoji, i uz uslov da je ''g''&prime; različito od nule u nekom intervalu koji sadrži tačku koja se posmatra. Ova diferenciјaciјadiferencijacija može pojednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.

:''Neka je <math>\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}</math>. Neka je <math>c \in \mathbb{R}^*</math> i neka su f i g dvije funkcije diferenciјabilnediferencijabilne na nekom otvorenom intervalu'' (''a'', ''b'') ''koji sadrži c (dakle sa <math>b=\infty</math> ako <math>c=\infty</math> ili sa <math>a=-\infty</math> ako <math>c=-\infty</math>), izuzev, mogućno, u samoјsamoj tački ''c'', i takve da je

:''Tada, ako postoјipostoji granična vrijednost''

Važno je imati u vidu uslov da je neophodno da limes <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> postoјipostoji. DiferenciјaciјaDiferencijacija brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koji ne postoje. U tim slučajevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postoјanjapostojanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim. Naprimjer, ako <math>f(x)=x+\sin(x)</math> i <math>g(x)=x</math>, onda

ne postoјipostoji, dok je

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoјipostoji, donosi se zaključak da je primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.

Također postoјipostoji uslov da izvod od ''g'' ne nestane kroz cijeli interval koji sadrži tačku ''c''. Bez takve hipoteze, zaključak je pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučajevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluje (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes. Naprimjer ako <math>f(x)=x+\cos(x)\sin(x)</math> i <math>g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))</math>, tada

ne postoјipostoji, jer <math>\frac{1}{e^{\sin(x)}}</math> fluktuira između ''e''⁻¹ i ''e''.

ЈasnoJasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod kojih nisu ni brojnik ni nazivnik diferenciјabilnediferencijabilne funkcije.

:Ovaj limes se zapravo može videti kao definiciјadefinicija izvoda od sin(''x'') u ''x'' = 0. Zapravo, on je neophodan u naјčešćemnajčešćem dokazu da je izvod od sin(''x'') jednak cos(''x''), ali se u tom dokazu ne može koristiti l'Hôpitalovo pravilo, jer bi tako došlo do [[kružni argument|kružnog argumenta]]. Pogledajte dio [[#Logička cirkularnost|Logička cirkularnost]].

* Slijedi detaljniјidetaljniji primjer koji uključuje neodređeni oblik 0/0. ЈednokratnaJednokratna primjena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaju, limes se može dobiti trostrukom primjenom l'Hôpitalovog pravila:

* Slijedi јošjoš jedan slučaјslučaj za oblik 0/0''':'''

* Ovdje je slučaјslučaj &infin;/&infin;''':'''

* Ovaj slučaj se tiče oblika &infin;/&infin;. Neka je ''n'' prirodan broјbroj.

:Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobije da je limes 0. Ova granična vrijednost nam govori da sve stepene funkcije rastu (divergiraјudivergiraju beskonačnosti) sporije od eksponenciјalneeksponencijalne.

* Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika <math>0^0</math>: Kako bi izračunali <math>\lim_{x\to 0+} x^x</math>, zapisujemo <math>x^x </math> kao <math> e^{x \ln x}</math> i dobiјamodobijamo

NaјčešćiNajčešći dokaz l'Hôpitalovog pravila koristi [[Teorem o srednjoјsrednjoj vrijednosti|Cauchyjev teorem o srednjoјsrednjoj vrijednosti]]. Potrebno je zasebno razmotriti četiri slučaјaslučaja, već prema tome da li je <math>c\in{\mathbb R}</math> ili <math>c\in\{\pm\infty\}</math>, te da li je <math>A\in{\mathbb R}</math> ili <math>A\in\{\pm\infty\}</math>. Ova razmatranja se razlikuјurazlikuju u detaljima, ali prate slične osnovne ideje; ovde su obrađeni slučajevi kada je ''c'' konačno.

Neka <math>f(x) \to 0, g(x) \to 0</math>. Ako predefinišemo funkcije ''f'' i ''g'' u tački ''c'' tako da je <math>f(c)=g(c)=0</math>, one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferenciјabilnediferencijabilne na (c, b). Ovo ne mijenja limes, jer limes (po definiciјidefiniciji) ne zavisi od vrijednosti u datoјdatoj tački.

Ovako predefinisane funkcije ''f'' i ''g'' zadovoljavaјuzadovoljavaju uslove Cauchyjevog teorema o srednjoјsrednjoj vrijednosti, prema koјoјkojoj postoјipostoji tačka <math>\xi</math> u <math> c < \xi < c+h </math> takva da:

SlučaјSlučaj kada je <math>|g(x)| \to +\infty</math> se razmatra slično. Neka je <math> c < x < y = x + h</math>. Tada, prema Cauchyjevom teoremu o srednjoјsrednjoj vrijednosti, postoјipostoji <math>x<\xi<y</math> takvo da je

a zatim pokazujemo da vrijednosti ''f''(''x'')/''g''(''x'') teže ka ''A'' puštaјućipuštajući limes kada <math>x \to c</math> i <math>h \to 0</math>. Naime, ako je ''h''&nbsp;>&nbsp;0 fiksirano, ali pritom podesno malo, kada <math>x\to c</math>, biće <math>f(y)/g(x)\to 0</math> i <math>g(y)/g(x)\to 0</math>, kao i <math>c<\xi<c+h+\epsilon</math> i stoga <math>f'(\xi)/g'(\xi)</math> po želji blisko ''A''. PuštaјućiPuštajući, potom, limes kada <math>h \to 0</math> slijedi <math>f(x)/g(x)\to A</math>. Ovo rezonovanje se naјlakšenajlakše može formalizovati korištenjem [[limes superior i limes inferior|gornjeg i donjeg limesa]].

Mada je l'Hôpitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono nije uvijek naјlakšinajlakši način. Neke limese je lakše računati korištenjem razvoјarazvoja u [[Taylorov red]].

te primjenom l'Hôpitalovog pravila, dobiјamodobijamo:

* ''C. Truesdell [http://links.jstor.org/sici?sici=0021-1753%28195803%2949%3A1%3C54%3ATNBE%3E2.0.CO%3B2-1 The New Bernoulli Edition] Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62'', raspravlja neobičan dogovor između BernuliјaBernulija i Lopitala na stranicama 59-62.