Razlika između verzija stranice "Euklidska udaljenost"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary |
No edit summary |
||
Red 1:
'''Euklidska udaljenost''' je najkraći razmak između dvije [[Tačka_(geometrija)|tačke]] u jednom [[Prostor|prostoru]]. <ref> [http://www.geoinformatik.uni-rostock.de/einzel.asp?ID=644 Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Rostock, Njemačka, [[Njemački_jezik|njem.]]] učitano 01.01.2014</ref> U jednoj [[Ravan|ravni]] je, primjera radi, definisana po [[Pitagorina teorema|Pitagorinoj teoremi]]<ref name="Matheprisma Uni Wuppertal">[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/PI/Euklid.htm Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Wuppertal, Njemačka, ][[Njemački_jezik|njem.]]<span> </span> učitano 01.01.2014. ('''''Napomena:''' x1 i x2 - tačke na x-osi, y1 i y2 - na y-osi. Na izvoru su to drugačije označene tačke.'')</ref>
==Definicija==
Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta linije koja ih povezuje ((<math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}</math>).
U Kartezijevim koordinatama, ako su <math>p = (p_1, p_2, ..., p_n)</math> i <math>q = (q_1, q_2, ..., q_n)</math> dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:
{{NumBlk|:|<math>\begin{align}\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \mathrm{d}(\mathbf{q},\mathbf{p}) & = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + \cdots + (q_n-p_n)^2} \\[8pt]
& = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}.\end{align}</math>|{{EquationRef|1}}}}
Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:
:<math> \left\| \mathbf{p} \right\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}} ,</math>
Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:
:<math>\mathbf{q} - \mathbf{p} = (q_1-p_1, q_2-p_2, \cdots, q_n-p_n)</math>
U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je
{{NumBlk|:|<math> \left\| \mathbf{q} - \mathbf{p} \right\| = \sqrt{(\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot(\mathbf{q}-\mathbf{p})} .</math>|{{EquationRef|2}}}}
ili
:<math> \left\| \mathbf{q} - \mathbf{p} \right\| = \sqrt{ \left\| \mathbf{p} \right\|^2 + \left\| \mathbf{q} \right\| ^2 - 2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}} .</math>
===Jednodimenzionalna udaljenost===
u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je
:<math>\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.</math>
===Dvodimenzionalna udaljenost===
Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog [[Pravougli trougao|pravouglog trougla]]:
[[Dužina]] [[Horizontala|horizontalne]] linije je [[Pitagorina_teorema|kateta]]: <math>x =
Dužina [[Vertikala|vertikalne]] linije je kateta: <math>y =
Prema tome udaljenost je [[Pitagorina_teorema|hipotenuza]]: <math>\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(
Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost. <ref name="Matheprisma Uni Wuppertal"/>
Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda
:<math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.</math>
===Trodimenzionalna udaljenost===
U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je
:<math>d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.</math>
===n - domenzionalna udaljenost===
U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je
:<math>d(p, q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2}.</math><math></math>
===Kvadrat Euklidske udaljenosti===
Kvadrat Euklidske udaljenosti je
:<math>d^2(p, q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2.</math>
== Reference ==
{{reference}}
| |||