Razlika između verzija stranice "Kompleksan broj"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
Red 122:
<math>z_1 * (z_2 + z_3) = z_1 * z_2 + z_1 * z_3</math> za <math>\forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> distributivnost množenja u odnosu na sabiranje
===Realan proizvod dva kompleksna broja===
U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.
Definicija
Realan proizvod kompleksnih brojeva <math>a</math> i <math>b</math>, u oznaci <math>a \circ b</math>,je realan broj određen kao
<math>a \circ b =\frac{1}{2}( \overline{a}b+a\overline{b})</math>
Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima <math>a = \mid a \mid(cos \varphi +
i sin \varphi)</math> i<math>b = \mid b \mid(cos \psi +
i sin \psi)</math> Lako je proveriti da je
<math>a \circ b = \mid a \mid \mid b \mid ( cos \varphi+i sin \psi)= \mid OA \mid \mid AB \mid cos \widehat{AOB} </math>
Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja
#<math>a \circ a = \mid a \mid ^2</math>
#<math>a \circ b = b \circ a</math>
#<math>\overline{a \circ b}=a \circ b</math>
#<math>(\alpha a )\circ b =\alpha(a \circ b )=a \circ ( \alpha b)</math>
#<math>(az))bz)= \mid z \mid ^2 (a\circ b)</math>
#<math>a\circ b = 0 <=> OA \perp OB</math> (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima <math>a</math> i <math>b</math>)
Realan proizvod kompleksnih brojeva <math>a</math> i <math>b</math> jednak je potenciji koordinantnog početka <math>O</math> kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik <math>AB</math>, gdje su <math>A</math> i <math>B</math> tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima <math>a</math> i <math>b</math>.
Tačka <math>M</math> je sredina duži AB određena kompleksnim brojem <math>\frac{a+b}{2}
</math>, potencija tačke <math>O</math> u odnosu na krug sa središtem u tački <math>M</math> i poluprečnikom
<math>r = \frac{a-b}{2}= \frac{\mid a-b \mid}{2}</math> jednaka je
<math>OM^2 - r^2 =\mid \frac{a+b}{2} \mid -\mid \frac{a-b}{2} \mid = \frac{(a+b)(\overline{a}+\overline{b} }{4}-\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b}) }{4}= a\circ b
</math>
Neka su tačke <math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math>,<math>D</math> taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:
#<math>AB \perp CD</math>
#<math>(a+b)\circ (c+d)=0</math>
#<math>\frac{b-a}{d-c}\in i\mathbb{R} \ \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}</math>
#<math>Re(\frac{b-a}{d-c})=0</math>
Središte kružnice opisane oko trougla <math>ABC</math> nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> trougla <math>ABC</math> određena kompleksnim brojevima <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> respektivno, tada je ortocentar <math>H</math> tog trougla određen kompleksnim brojem <math>h = a + b + c</math>.
===Kompleksan proizvod dva kompleksna broja===
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.
;Definicija
Kompleksan broj
<math>a \times b =\frac{\overline{a}b - a \overline{b}}{2}</math>
nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva <math>a</math> i <math>b</math>.
Neka su <math>A</math> i <math>B</math> tačke određene kompleksnim brojevima
<math>
a = \mid a \mid(cos\varphi +i sin \varphi)</math> i
<math>a = \mid b \mid(cos\psi +i sin \psi)</math>
Lako je provjeriti da je
<math>\mid a \times b \mid =\mid a \mid \mid b \mid sin(\varphi -\psi)=
\mid OA \mid \mid AB \mid sin\widehat{AOB}=2P_{AOB} </math>
Neka su <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine
#<math>\overline{a \times b}= -a \times b</math>
#<math>a \times b= 0 <=> a=0 \lor b=0 \lor a= \lambda b</math> gdje je <math>\lambda \in \mathbb{R} \ \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}</math>
#<math>
a \times b =-b \times a</math>
#<math>\alpha (a \times b)=(\alpha a)\times b = a \times (\alpha b)</math> ( <math>\forall \alpha \in\mathbb{R}</math> )
Ako su <math>A(a)</math> i <math>B(b)</math> dvije različite tačke različite od <math>O(0)</math>, tada je
<math>a \times b = 0 </math> onda i samo onda ako su <math>O</math>, <math>A</math>,<math>B</math> kolinearne tačke.
Neka su <math>A(a</math>) i <math>B(b</math>) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni
različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva <math>a</math> i <math>b</math> ima sljedeći geometrijski smisao
<math>a \times b = \begin{cases}
2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ pozitivno \ orijentisan \\
-2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ negativno \ orijentisan
\end{cases}</math>
Neka su <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math> i <math>C(c)</math> tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada je
<math>P_{ABC}=\begin{cases}
\frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ pozitivno \ orjentisan \\
\frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ negativno \ orjentisan
\end{cases}</math>
Neka su <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math> i <math>C(c)</math> tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna
#Tačke <math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math> su kolinearne
#<math>(b - a) \times (c - a) = 0</math>
#<math>a \times b + b \times c + c \times a = 0</math>
Neka su <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math>, <math>C(c)</math> i <math>D(d)</math> četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je <math>AB\parallel CD</math> onda i samo onda ako je <math>(b-a)\times(d-c) = 0</math>
==Dijeljenje kompleksnih brojeva==
<math>
\displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0</math>
U svakom skupu brojeva dijeljenjese definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za
<math>
\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )\exists z'\in \mathbb{C}</math>
Neka je
<math>z = x + yi \ne 0</math> bilo koji. Onda je <math>x^2 + y^2 \ne 0</math> pa je dobro definisan broj
<math>z'= \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i</math>
<math>\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i.</math>
imamo
<math>z'*z=z*z'=1 </math>
<math>z'=z^{-1}=\frac{1}{z}</math>
==Dijeljenje kompleksnih brojeva==
| |||