Razlika između verzija stranice "Iracionalan broj"
| [pregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary |
No edit summary |
||
Red 38:
== Iracionalnost zlatnog presjeka ==
Kada se [[Dužina|duž]] podijeli na dva dijela na način da se duži dio prema cjelini odnosi na isti način kao kraći dio prema dužem, tada smo duž podijelili u
:<math>\varphi={1+\sqrt{5} \over 2}.</math>
Pretpostavimo da je ovaj broj [[Racionalan broj|racionalan]], i predstavimo ga odnosom <math>\frac{n}{m}</math>.
gdje su ''n'' i ''m'' uzajamno prosti. Neka je ''n'' dužina cjeline, a ''m'' dužina dužeg dijela. Tada je dužina kraćeg dijela ''n'' − ''m''. Slijedi da je tada
Line 48 ⟶ 47:
:<math>{n \over m} = {m \over n-m}</math>.
Ali ovo znači da smo pojednostavili razlomak koji, prema pretpostavci, nije mogao biti pojednostavljen, skraćen. To je kontradikcija, znači pretpostavka da je
==Transcendentni i algebarski iracionalni brojevi==
Skoro svi iracionalni brojevi su transcendentni a istovremeno su svi transcendentni brojevi iracionalni.
Poznati su sljedeći primjeri :<math>e ^r </math> je iracionalno za <math> r \ne 0 </math>
:<math>\pi ^r </math> je iracionalno za <math> r \ne 0 </math>
:<math> e^\pi </math> je iracionalno
Drugi način konstrukcije iracionalnog broja je iracionalni [[Algebarski broj|algebarski broj]] tj. kao nula polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima.
Posmatrajmo jednačinu:
:<math> p(x)= a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0 </math>
gdje su koeficijenti <math> a_i </math> cijeli brojevi. Pretpostavimo da postoji realan broj <math> x </math> takav da je <math> p(x) = 0 </math>
Jedini mogući racionalni korjen ovog polinoma je oblika <math> r/s </math>
gdje je<math> r </math> djelilac <math> a_0 </math> i <math> s </math> je delilac <math> a_n </math>. Postoji konačan broj kandidata i svi se mogu provjeriti pojedinačno. Ako nijedan od njih nije korjen <math> p </math>, tada <math> x </math> mora biti iracionalno.
Ova tehnika može biti korištena da se pokaže da je
:<math> x = \sqrt[3]{ \sqrt{2} +1} </math> iracionalan, jer je tada
:<math> (x^3-1)^2 = 2 </math> odnosno
:<math> x^6 - 2 x^3 - 1 = 0 </math>
Ovaj [[polinom]] nema racionalne korjene (jedini kandidati su <math> \pm 1 </math>).
Zato što algebarski brojevi čine polje, mnogi iracionalni brojevi mogu biti konstruisani kombinovanjem transcendentnih i algebarskih brojeva.
Na primjer <math> 3 \pi +2 </math>, <math> \pi + \sqrt{2} </math> i <math> e \sqrt{3} </math> su iracionalni (i transcendentni).
==Jednostavan dokaz iracionalnosti za neke logaritme==
Logaritmi su vjerovatno najjednostavniji za dokazivanje iracionalnosti. Slijedi dokaz svođenjem na kontradikciju, da je <math> log_2 3 </math>
iracionalan
:Ako je <math> log_2 3 </math> racionalan.
:Znači postoje prirodni brojevi <math> m </math> i <math> n </math>, takvi da je <math> log_2 3 = \frac{m}{n}</math>.
:Tada je
:<math> 2^{m/n}=3 = > 2^m=3^n </math>
:2 na neki prirodan broj je uvijek parno, a 3 na neki prirodan broj je uvijek neparno. Slijedi početna pretpostavka je pogrešna.
Slučajevi kao što je <math> log_{10} 2 </math> se dokazuju slično.
==Iracionalni brojevi i decimalni razvoj==
Često se pogrešno zaključuje da matematičari definišu iracionalan broj u smislu decimalnog razvoja, nazivajući broj iracionalnim ako decimalni razvoj ima beskonačno cifara, a cifre se ne ponavljaju. Nijedan matematičar ne uzima ovo kao definiciju jer izbor osnove 10 za brojni sistem je prozvoljan a prava definicija je bolja i jednostavnija. Mada, istini za volju, tačno je da je broj oblika n/m, gdje su n i m prirodni brojevi, ako i samo ako decimalni prikaz ima konačan broj cifara ili se cifre ponavljaju beskonačno u grupama. Ovo je moguće pokazati običnim školskim dijeljenjem n sa m jer samo m mogućih ostataka postoji. Ako je 0 ostatak, decimalni ispis se završava. Ako se 0 nikad ne pojavljuje tada se postupak može ponoviti najviše (m − 1) puta prije nego što se ponovo isti ostaci pojave. Poslije toga, ostatak se ponavlja i decimalne cifre se ponavljaju.
Primjer:
:<math>A=0.7\,162\,162\,162\,\dots</math>
Pošto je dužina ponavljajuće grupe cifara 3, pomnožimo sa <math> 10^3 </math>
:<math>1000A=7\,16.2\,162\,162\,\dots</math>
:i oduzmimo A od obe strane
:<math>999A=715.5\,.</math>
:<math>A=\frac{715.5}{999}=\frac{7155}{9990}=\frac{135\times 53}{135\times 74}=\frac{53}{74}.</math>
==Brojevi za koje se ne zna da li su iracionalni==
Ne zna se da li su <math> \pi+e </math> i <math> \pi -e </math> iracionalni ili ne.
Ne postoje prirodni brojevi m i n za koje se zna da li je <math> \pi + ne </math> iracionalno ili ne.
Nije poznato ni za <math> \mathbf {2}^{\mathbf e} </math>, <math> \pi^{\mathbf e}</math>, <math>\pi^\sqrt{2}</math> da li su iracioalni
==Skup iracionalnih brojeva==
Skup iracionalnih brojeva nema standardnu oznaku kao što je to slučaj sa [[Skup prirodnih brojeva|skupom prirodnih brojeva]] N, [[Skup cijelih brojeva|skupom cijelih brojeva]] Z, [[Skup racionalnih brojeva|skupom racionalnih brojeva]] Q ili [[skup realnih brojeva|skupom realnih brojeva]] R.
Skup iracionalnih brojeva je neprebrojiv, dok je skup racionalnih brojeva prebrojiv a realnih brojeva neprebrojiv. Skup algebarskih iracionalnih brojeva, znači netranscendentnih, je prebrojiv.
Koristeći apsolutnu vrijednost za mjerenje rastojanja, iracionalni brojevi čine metrički prostor koji nije kompletan. Pa ipak, ovaj metrički prostor je homeomorfan kompletnom metričkom prostoru svih nizova prirodnih brojeva; homeomorfizam je dat beskonačnim razvojem verižnih razlomaka. Ovo pokazuje da u prostoru iracionalnih brojeva važi iskaz Berove teoreme o kategoriji.
==Neki zanimljivi iracionalni brojevi==
Konstanta Koupland-Erdoš
<math> 0.235711131719232931374143...</math>
dobijena spajanjem prostih brojeva u niz jeste iracionalan broj.
== Također pogledajte ==
| |||