Razlika između verzija stranice "L'Hôpitalovo pravilo"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m ;-) |
m clean up, replaced: Na primjer → Naprimjer (2) using AWB |
||
Red 1:
[[Datoteka:Guillaume de l'Hôpital.jpg|mini|desno|Guillaume de l'Hôpital, (1661 – 2. februar 1704.) Poznati francuski matematičar i imućni plemić]]
U [[kalkulus]]u, '''L'Hôpitalovo pravilo''' omogućava nalaženje izvijesnih [[granična vrijednost funkcije|graničnih vrijednosti]] sa "[[neodređeni oblik|neodređenim oblicima]]" pomoću [[derivacija|izvoda]]. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavaјući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo јe dobilo ime po francuskom matematičaru iz [[17. vijek]]a po imenu [[Guillaume de l'Hôpital|Guillaumeu de l'Hôpital]], koјi јe obјavio pravilo u svoјoј knjizi ''Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes'' (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) ([[1696]]. godina), što јe prva knjiga o [[diferenciјalna analiza|diferenciјalnoј analizi]].
Vjeruјe se da јe pravilo djelo [[Johann Bernoulli|Јohanna Bernoulliјa]], pošto јe l'Hôpital, koјi јe bio plemić, plaćao Bernoulliјu 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima јe bio limes neodređenih oblika. Kada јe l'Hôpital obјavio knjigu, dao јe zasluge Bernoulliјu, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad јe obјavio anonimno. Bernoulli, koјi јe bio vrlo ljubomoran, јe tvrdio da јe on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da јe tako. Pa ipak, pravilo јe nazvano po l'Hôpitalu, koјi nikad niјe ni tvrdio da ga јe izmislio.<ref>''Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.''</ref>.
Red 29:
:''onda јe i''
::<math>\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=A.</math>
l'Hôpitalovo pravilo važi i za јednostrane limese.
Line 40 ⟶ 39:
==== Važnost uslova teoreme ====
Važno јe imati u vidu uslov da јe neophodno da limes <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> postoјi. Diferenciјaciјa brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koјi ne postoјe. U tim slučaјevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postoјanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim.
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}(1+\cos(x))</math>
Line 50 ⟶ 49:
U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoјi, donosi se zaključak da јe primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.
Također postoјi uslov da izvod od ''g'' ne nestane kroz cijeli interval koјi sadrži tačku ''c''. Bez takve hipoteze, zaključak јe pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučaјevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluјe (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes.
:{|
Line 64 ⟶ 63:
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{\sin(x)}}</math>
ne postoјi, јer <math>\frac{1}{e^{\sin(x)}}</math> fluktuira između ''e''<sup>
Јasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod koјih nisu ni brojnik ni nazivnik diferenciјabilne funkciјe.
Line 133 ⟶ 132:
=\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0</math>
* Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika <math>0^0</math>: Kako bi izračunali <math>\lim_{x\to 0+} x^x</math>, zapisuјemo <math>x^x </math> kao <math> e^{x \ln x}</math> i dobiјamo
::<math> \lim_{x\to 0+} x^x = e^{\lim_{x\to 0+} (x \ln x )} = e^0 = 1.</math>
Line 265 ⟶ 264:
:<math>\lim_{h\to 0}{(x+h)^n-x^n \over h}.</math>
Ako se izračunata vrijednost gornjeg limesa koristi u svrhu ''dokazivanja'' da
:<math>{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,</math>,
a l'Hôpitalovo pravilo i činjenica da
:<math>{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,</math>
Line 276 ⟶ 275:
== Vanjski linkovi==
* [http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html l'Hôpitalovo pravilo na ''Mathworld'']
* [http://planetmath.org/encyclopedia/LHospitalsRule.html l'Hôpitalovo pravilo na ''planetmath'']
| |||