Razlika između verzija stranice "Numerička integracija"

'''Kvadratura '''je matematički historijski pojam, a znači računanje površine. Kvadraturni problemi su bili glavni zadaci koji su se zadavalizadavani kao izvor za [[Matematička analiza|matematičku analizu]]. Matematičari [[Stara Grčka|Stare Grčke]], prema Pitagorinoj doktrini, shvatili su računanje površine kao proces konstrukcije geometrijskog kvadrata koji ima jednaku površinu (''kvadriranje''). To je razlog zašto je proces nazvan '''kvadratura'''. Naprimjer: kvadratura kruga, hipokratov mjesec i kvadratura parabole. Ova konstrukcija mora biti izvedena jedino upotrebom šestara i lenjira.

Važan dio analize bilo koje numeričke integracione metode je proučavanje ponašanja greške aproksimacije kao funkcija broja broja procjene integranda. Metoda koja ima malu grešku za mali broj procjena je često smatransmatrana superiornimsuperiornom. Smanjenjem broja procjena integranda, smanjuje se i broj korištenih aritmetičkih operacija, te se smanjuje ukupna greška proračuna. Takođe, svaka procjena uzima vrijeme, a integrand može biti svojevoljno komplikovan.

Ako dopustimose dopusti da intervali između interpolacionih tačaka variraju, onda nalazimose nalazi novunova grupugrupa kvadraturnih formula, kao što je Gausova kvadraturna formula. Gausovo kvadraturno pravilo je još preciznije od Newton-Cotesovog pravila koje zahtjeva jednak broj iteracija ako je funkcija koja se integriše (integrand) glatka krivulja (npr, ako je dovoljno diferencijabilna). Ostale kvadraturne metode sa varijacijom intervala uključuju Clenshaw–Curtis kvadraturne metode (također zvane Fejér kvarature), koje se gnijezde.

Neki detalji algoritma zahtjevaju pažljiv pristup. Za više slučajeva, pronalazak greške kvadrature na intervalu za funkciju ''f''(''x'') nije očita. Jedna poznata solucija je da se koriste dva pravila kvadratura i korištenjem razlike se može procijeniti greška kvadrature. Čest problem je odlučiti šta označava "premalo" ili "preveliko". Lokalni kriterij za "preveliko" je da kvadraturna greška ne smije biti veća od ''t'' · ''h,'' gdje je ''t,'' realni broj, tolerancija kojukoja želimose želi podesiti za globalnu grešku. Opet, ako je ''h'' već malo, onda može biti bespotrebno praviti ga čak manjim iako je kvadraturna greška velika. Globalni kriterij je da zbir grešaka na svim intervalima bude manji od ''t''. Ovaj tip analize greške se često naziva "posteriori" zato što se nakon svake procjene računa i greška.

PustimoAko se pusti da ''f'' ima ograničen prvi izvod na zatvorenom intervalu [''a'',''b'']. Teorema srednje vrijednosti za ''f'', gdje je ''x''&nbsp;<&nbsp;''b'', daje:

za izražavanje greške od određene aproksimacije. (Komentar: U ovom primjeru je ovo greška kojukoja smoje sračunaliizračunata za primjer <math>f(x) = x</math>.) Koristeći više izvoda i popravljanja kvadrature može se dobiti ista greška analize koristeći se [[Taylorov red|Taylorovim redovima]] (koristeći parcijalnu sumu sa ostatkom) za ''f''. Ova analiza greške daje striktnu gornju granicu greške ako postoje izvodi za ''f''.