Diofantska jednačina

Diofantska jednačina je algebarska jednačina s dvije ili vise nepoznatih s cjelobrojnim koeficijentima u kojoj se traže cjelobrojna ili racionalna rješenja. Ime je dobila po Diofantu koji je prvi sistematski proučavao takve jednačine

Linearne diofantske jednačineUredi

Diofantska linearna jednačina je jednačina oblika:
 
gdje su a, b i c neki cijeli brojevi.
Primjer
 
Kako je x cio broj to je y djeljivo sa 3
 
odnosno
 
 
Teorema
  1. Diofantska jednačina   , gdje su  , ,  cijeli brojevi   ima cjelobrojna rješenja ako i samo ako   dijeli  .
  2. Ako su   i   rješenja te jednačine onda su sva rješenja oblika
 
 
Rješenje   naziva se partikularno rjesenje diofantske jednacine. Op ste rjesenje je zbir partikularnog rjesenja i rjesenja homogene jednacine  
Primjer
 
Partikularno rješenje je  , a rješenja pripadne homogene jednačine su  ,  
Rješenja jednačine su parovi   za  
Za pronalaženje partikularnog rješenje diofantske jednačine korististimo Euklidov algoritam pomoću kojeg određujemo cijele brojeve   i   za koje vrijedi   gdje je  , a zatim množenjem sa   dobijamo partikularno rješenje.
Primjer
 
 
 
 
 
pa je
 
1 
 
 
U posljednju jednakost uvrstimo izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti
 
 
 
tj.
   
 
 
 
 
 
Rješenje date jednadnacine je
 
   
Primjer
Za prevoz neke robe raspolažemo vrećama od 40 kg i 60 kg. Koliko treba uzeti jednih, a koliko drugih da se prevese 500 kg robe
Zadatak ćemo riješiti Eulerovom metodom
 
  za   i  
 
   
 
 
 
Rješenja jednadčine su parovi  ) gdje je   i  
 
Traženi parovi  ) su       i  

Nelinearne diofantske jednačineUredi

Ne postoji univerzalna metoda rješavanja ovih jednačina ali zato postoji niz metoda kojima rješavamo neke specijalne tipove nelinearnih diofantskih jednačina. Neke od tih metoda su:
  1. metoda faktorizacije
  2. metoda razlomka
  3. metoda posljednje cifre
  4. metoda kongruencije
  5. metoda zbira potencija s parnim eksponentima
  6. metoda nejednakosti

Metoda faktorizacijeUredi

Metoda faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednačine zapiše u obliku proizvoda cjelobrojnih vrijednosti, pa uzimajući u obzir drugu stranu jednačine posmatramo moguće slučajeve.
 
( 
Ovo je moguće za
x-3 y+1
1 3
-1 -3
3 1
-3 -1
odnosno
x y
4 2
2 -4
6 0
0 -2

Metoda razlomkaUredi

Osnovna ideja ove metode slična je kao kod metode faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku razlomka dvaju cjelobrojnih vrijednosti, dok s druge strane jednačine imamo također cjelobrojnu vrijednost. Zbog toga nazivnik tog razlomka mora dijeliti brojnik, što nam daje klasifikaciju mogućih slučajeva. Spomenuti razlomak u praksi najčešće dobijemo tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.
 
 
 
 
 

Metoda poslednje cifreUredi

Metoda posljednje cifre je podmetoda metode ostataka koja koristi ispitivanje ostataka pri dijeljenju brojem 10. Preciznije, razdvajanje slučajeva se vrši posmatranjem zadnje cifre nekih dijelova jednačine, te njihovim usklađivanjem.

 
Kvadrat cijelog broja završava cifrom 0,1,4,5,6,ili 9, a broj   sa 0 ili 5, pa zbir na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6, ili 9, a ne sa 3. Jednačina nema rješenja.

Metoda kongruencijeUredi

 
  neparan a   paran pa je   neparan
 
 
 
 
Jednačina nema rješenja jer 1995 nije djeljivo sa 4

Metoda zbira potencija s parnim eksponentimaUredi

Metoda zbira je slična metodi faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku zbira (najčešće nenegativnih) cijelih brojeva, te dalje diskutujemo slučajeve koji mogu nastupiti.

 
 
 
 
 

Metoda nejednakostiUredi

Ova metoda se često koristi da bi se smanjio skup mogućih rješenja date jednačine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slučajevi. Na tom smanjenom skupu razlikuju se slučajevi. Metoda nejednakosti se često koristi i u kombinaciji s nekom drugom metodom za rješavanje nelinearnih diofantskih jednačina

 
 
   
 
za  
 
za  
 
Jednačina ima samo jedno rjesenje  

Pellove i pellovske jednacineUredi

Neka je zadana jednacina
 
Uređenu trojku (x,y,z) koja zadovoljava zadanu jednačinu nazivamo Pitagorina trojka
Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka
U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tačno je jedan od brojeva  ,  neparan. Za  , 

parne nebi se radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci

Diofantska jednačina oblika
  gdje je   i nije potpun kvadrat je Pelova jednačina.
Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rješenja u skupu prirodnih brojeva. Ako pronađemo najmanje (osnovno) rješenje  , preostala rješenja   možemo generisati na sljedeći načine
  1. :   
  2. :  i   za   i  
  3. :  i  
Jednačina
  je Pellovska jednačina (jednačina Pellovog oblika)

Za razliku od Pellove jednačine ova jednačina nema uvijek cjelobrojno rješenje. [1]

Erdős–Strausova hipotezaUredi

Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve   postoji racionalni broj   koji se može iskazati kao zbir tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:
 
Primjer
za  , postoji rješenje jednacie gdje je  ,   i  .
Pomnožimo li obe strane jednačine s  , nalazimo Diofantsku jednačinu oblika:
  [2]

ReferenceUredi

DIOFANTSKE JEDNADZBE/https: Archived 2012-06-11 na Wayback Machine

  1. ^ "Diofantske jednadžbe // Pellove i pellovske jednadžbe" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 8. 4. 2016. Pristupljeno 9. 3. 2016.
  2. ^ 4-parametrowa seria rozwiązań równania Erdősa-Strausa