U trigonometriji , tangensni teorem [1] je iskaz o odnosu dužina tri strane trougla i tangenti uglova.
Slika 1 - trougao. Na Slici 1, a , b i c su dužine tri strane trougla, a α, β i γ, respektivno, su uglovi nasuprot tih stranica. Tangensni teorem kaže da je
a − b a + b = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.} Tangensni teorem, iako nije poznat kao sinusni ili kosinusni teorem , jednako je koristan, a može se koristiti u bilo kojem slučaju kada su poznate dvije stranice i jedan ugao, kao i dva ugla i jedna stranica.
Kako bi dokazali tangensni teorem, počinjemo sa sinusnim teoremom :
a sin α = b sin β . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.} Neka je
d = a sin α = b sin β , {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},} tako da je
a = d sin α i b = d sin β . {\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ i }}b=d\sin \beta .\,} Slijedi da je
a − b a + b = d sin α − d sin β d sin α + d sin β = sin α − sin β sin α + sin β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.} Koristeći trigonometrijske identitete
sin ( α ) ± sin ( β ) = 2 sin ( α ± β 2 ) cos ( α ∓ β 2 ) , {\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;} dobijamo
a − b a + b = 2 sin ( α − β 2 ) cos ( α + β 2 ) 2 sin ( α + β 2 ) cos ( α − β 2 ) = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad } Kao alternativa korištenju identiteta sume ili razlike dva sinusa, može se koristiti trigonometrijski identitet
tan ( α ± β 2 ) = sin α ± sin β cos α + cos β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}} (pogledajte članak formula tangensa polovine ugla ).
Zabilješke
uredi
Također pogledajte
uredi