1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Suma svih prirodnih brojeva 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, može se pisati i kao

Prvih 6 trokutnih brojeva

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{1},$

je divergentan red; suma prvih n članova može se pronaći koristeći se formulom ${\frac {n(n+1)}{2}}$.

Iako na prvi pogleda red nema neku značajnu vrijednost, može se manipulacijom ovog reda doći mnoštva matematički interesantnih rezultata, koji, čak, imaju primjenu u drugim oblastima, kao što su kompleksna analiza i kvantna terija polja.

Dokaz formule za parcijalnu sumu

Dokaz da je sum prirodnih brojeva do n ${\frac {n(n+1)}{2}}$ može se dokazati na mnoštvo načina. Najprije, neka je

$S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,$

Članovi se mogu pregrupisati i napisati od zadnjeg pa do prvog:

$S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,$

Ako saberemo ova dva, član po član, dobijamo:

$2S_{n}=\underbrace {(n+1)+((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots +(3+(n-2))+(2+(n-1))+(1+n)} _{n}$

$2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n}$

$2S_{n}=n\cdot (n+1)$

$S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$

Sumiranje i analitičko produženje zeta funkcije

Ramanujanova suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · · iznosi −¹⁄₁₂.

Kada je realni dio od s veći od 1, Riemannova zeta-funkcija od s jednaka je sumi $\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}$. Ova suma divergira kada je realni dio od s manji od 1, ali kada je s = −1 tada analitičko produženje od ζ(s) daje ζ(−1) kao −¹⁄₁₂.

Također pogledajte

• Beskonačni aritmetički red
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• Trouglasti broj

Reference

• Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin (1995). Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0287-9.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCC QA295 .H29 1967. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)

Dalje čitanje

• Lepowsky, James (1999). "Vertex operator algebras and the zeta function". Contemporary Mathematics. 248: 327–340.
• Zee, A. (2003). Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. ISBN 0-691-01019-6. See pp. 65–6 on the Casimir effect.
• Zwiebach, Barton (2004). A First Course in String Theory. Cambridge UP. ISBN 0-521-83143-1. See p. 293.

Vanjski linkovi

• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147)
  • Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −¹⁄₁₂