Razlika između izmjena na stranici "Skalarni proizvod"

Dodano 2.970 bajtova ,  prije 12 godina
nema sažetka izmjene
m (robot Dodaje: ca, fa, th, tr, uk Mijenja: ko, zh)
 
:<math>\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.</math>
 
Za dva [[kompleksan broj|kompleksna]] kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao
:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum{\overline{b_i} a_i} </math>
gdje je
:<math>\overline{b_i} </math>
[[konjugovano kompleksan broj]] od '''<math>b_i</math>'''; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \overline{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}} </math>
 
Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz [[ortonormalnost|ortonormalnih]] [[vektorski prostor|vektorskih prostora]]. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je [[Skalarni proizvod#Generalizacija|ispod]].
 
== Geometrijska interpretacija ==
 
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>\theta = \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).</math>
 
== Dokaz geometrijske intepretacije ==
 
Razmotrimo vektor
:<math> \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}. \, </math>
Uzastopnom upotrebom [[Pitagorin teorem|Pitagorinog teorema]] dobijamo jegovu dužinu ''v''
:<math> v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \,</math>
Dobijeno je isto kao i
:<math> \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2, \,</math>
tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor '''v''' sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.
 
; '''[[Lema (matematika)|Lema]] 1''':<math> \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v^2. \, </math>
 
Sada razmatrajmo dva vektora '''a''' i '''b''' koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor '''c''' može se definisati kao
:<math> \mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{a} - \mathbf{b}. \,</math>
tvoreći trougao sa stranicama ''a'', ''b'' i ''c''. Prema [[kosinusni teorem|kosinusnom teoremu]], imamo da je
:<math> c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \theta. \,</math>
Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo
:<math>
\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
- 2 ab \cos\theta. \,
</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ''(1)''
Ali pošto je '''c''' ≡ '''a''' &minus; '''b''', također imamo da je
:<math>
\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}
= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \,</math>,
što je, prema [[distributivnost|pravilu distributivnosti]], prošireno na
:<math>
\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \,
</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ''(2)''
Izjednačavanjem dvije '''c''' • '''c''' jednačine, ''(1)'' i ''(2)'', dobijamo
:<math>
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
- 2 ab \cos\theta. \,
</math>
Oduzimanjem '''a''' • '''a''' + '''b''' • '''b''' sa obje strane i dijeljenjem sa &minus;2 ostavlja nam
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos\theta. \, </math>
[[Q.E.D.]]
 
== Također pogledajte ==
 
* [[Vektorski proizvod]]
* [[Vektorski zbir]]
 
[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Binarne operacije]]
[[Kategorija:Članci koji sadrže dokaz]]
[[Kategorija:Vektori]]
 
[[ca:Producte escalar]]
18.960

izmjena