|
'''Sinusna teorema'''
'''Синусна теорема''' је [[формула]] која се користи за [[решавање троугла]] у [[Тригонометрија у равни|тригонометрији равни]]:
: <math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},</math>
где су А, B, C углови наспрам страница a, b, c троугла ABC, односно, то је следећа формула која се користи у [[сферна тригонометрија|сферној тригонометрији]] за [[решавање сферног троугла]]:
: <math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}.</math>
; Синусна теорема: <math>\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R,</math> гдеgdje su су <math>\ a, b, c</math> страницеstranice наспрамnaspram uglova углова <math>\alpha,\;\beta,\;\gamma,</math> троуглаu trouglu <math>\ ABC,</math> а <math>\ R</math> полупречникpoluprečnik opisanog описаног [[ кругkrug]]а. ▼== Тригонометрија у равни ==
Teorema
▲; Синусна теорема: <math>\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R,</math> где су <math>\ a, b, c</math> странице наспрам углова <math>\alpha,\;\beta,\;\gamma,</math> троугла <math>\ ABC,</math> а <math>\ R</math> полупречник описаног [[круг]]а.
[[Слика:Sinusna-teorema.gif|мини|Сл.1. Синусна теорема]] ▼; Доказ: Око [[троугао|троугла]] ABC описана је [[кружница]] полупречника R, на слици десно. <math>CA' =2R</math> је пречник. Знамо да су периферни углови над истом тетивом <math>BC=a</math> једнаки, тј. <math>\alpha=\angle BAC=\angle BA' C,</math> те да је периферни угао <math>\angle CBA'</math> над пречником CA' прав. У [[Правоугли троугао|правоуглом троуглу]] A'BC имамо <math>\sin\alpha = \frac{a}{2R},</math> а отуда <math>\frac{a}{\sin\alpha}=2R.</math> Слично добијамо за углове <math>\beta,\;\gamma.</math> Крај доказа.
Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelovе naleglim stranicama .
[[Слика:Simetrala-ugla.gif|лево|Сл.2. Симетрала угла]]
; Теорема 2: [[Симетрала]] унутрашњег угла троугла дели супротну станицу на делове пропорционалне налеглим странама.
[[Kategorija:Trigonometrija]]
; Доказ: На слици (2) лево, дати су [[троугао]] ABC и симетрала AD угла С. Симетрала дели [[угао]] С на два једнака дела <math>\angle ACD = \angle DCB = \phi,\; (\angle C = \gamma = 2\phi).</math> Означимо угао <math>\angle ADC = \theta,</math> па је <math>\angle CDB = 180^o - \theta.</math> [[Синус]]и суплементних углова (који се допуњавају до 180°) су једнаки и према синусној теореми за троуглове ACD и DBC добијамо: <math>AD:AC = \sin\phi : \sin\theta, \quad DB:CB=\sin\phi : \sin\theta.</math> Отуда је <math>\ AD : AC = DB : CB,</math> што је и требало [[доказ]]ати. Крај доказа.
=== Примери ===
Синусна теорема се често употребљава за [[решавање троугла]], тј. налажење осталих елемената [[Троугао|троугла]] (страница, углова), када су дати неки од њих. Теорема се састоји од три [[формула|формуле]] (једначине), од којих су само две могу употребити у датом задатку. Ми бирамо две [[једначина|једначине]] које садрже три од познатих величина, а само једну непознату. То значи, да бисмо употребили синусну теорему за решавање троугла, морамо познавати вредности или
* два угла троугла и једну страницу (УСУ), или
* две стране троугла и супротни угао (ССУ).
[[Слика:Trougao-41-62-7.gif|мини|Сл.3. Пример 1, решавање троугла]]
; 1. Пример (УСУ): У <math>\Delta ABC,\; BC=7cm,\; \angle A=41^o,\; \angle B=62^o.</math> Наћи дужину странице AC.
; Решење: <math>\frac{7}{\sin 41^o}=\frac{b}{\sin 62^o} \Rightarrow b=\frac{7\sin 62^o}{\sin 41^o}=9,4208... .</math> Према томе, <math>AC=9,42</math> са тачношћу до 3 [[значајне цифре]].
[[Слика:Trougao-15-107-32.gif|лево|Сл.4. Пример 2, решавање троугла]]
; 2. Пример (УСУ): У троуглу <math>ABC,\; AC=15 cm,\; \angle A=107^o,\; \angle B=32^o.</math> Наћи AB.
; Решење: Две странице су актуелне ''b'' и ''c'', па пре кориштења синусне теореме морамо пронаћи угао С. Из <math>\angle A+\angle B+\angle C=180^o,</math> (в. [[збир углова у троуглу]]) следи <math>\angle C =41^o.</math> Затим, из синусне теореме <math>\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},</math> тј. <math>\frac{15}{\sin 32^o}=\frac{c}{\sin 41^o},</math> добијамо <math>c=\frac{15\cdot\sin 41^o}{\sin 32^o}=18,5705... .</math>
: Према томе, страница AB = 18,57 је тачна на 3 [[значајне цифре]].
[[Слика:Tri-trougla.gif|десно|Сл.5. Двосмислен случај]]
Размотримо случајеве троугла одређеног са две странице и једним углом.
* Ако је дат угао између две стране, онда је могуће само једно решење, слика (5) десно.
* Ако дати угао није између две стране, тада је понекад могуће конструисати два троугла са датим подацима.
* Размотримо, на пример, троугао где је <math>\angle A=20^o,\; b=10,\; a=8.</math>
: Два троугла са овим подацима су дата на слици (5) десно, са оштрим углом и са тупим углом, оба означена са B.
: Међутим, нису увек могућа два решења, на пример, ако је <math>\angle A=20^o,\; b=6,\; a=8,</math> онда постоји само један троугао са датим подацима.
* Опште правило је, при употреби синусне теореме за израчунавање угла троугла, веома је важно проверити да ли је могућ тупи угао као једно од решења.
; 3. Пример (ССУ): У троуглу ABC наћи угао С када је дато <math>AB=6cm,\; BC=4cm,\; \angle A=36^o.</math>
[[Слика:Primer-SSU.gif|лево|Сл.6. Страница, страница, угао]]
; Решење: Тражимо [[угао]] из <math>\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}\; \Rightarrow \; \frac{\sin 36^o}{3}=\frac{\sin C}{6}.</math> Отуда је <math>\sin C=\frac{6\cdot\sin 36^o}{4}=0,86036... .</math> Угао чији [[синус]] је 0,86... је приближно 59° (до најближег [[степен]]а), али постоји још један, [[тупи угао]], са истим синусом, тј. 121° (до најближег степена). Такав тупи угао C<sub>1</sub> и [[оштри угао]] C<sub>2</sub>, на слици (6) лево, дефинишу два различита [[Троугао|троугла]] AC<sub>1</sub>B и AC<sub>2</sub>B са истим почетним подацима. У првом од наведених троуглова угао B је 23°, а у другом 85°, јер је <math>\angle A + \angle B + \angle C = 180^o</math> (в. [[збир углова у троуглу]]).
; 4. Пример (ССУ): У троуглу <math>XYZ, \; \angle Y=42^o,\; XZ=10,\; YZ=7.</math> Наћи угао Х.
[[Слика:Primer-SSU-1.gif|десно|Сл.7. ССУ са једним решењем]]
; Решење: Из синусне теореме <math>\frac{\sin X}{x}=\frac{\sin Y}{y}\;\Rightarrow \; \frac{\sin X}{7}=\frac{\sin 42^o}{10}.</math>
: Отуда <math>\sin X=\frac{7\cdot\sin 42^o}{10}=0,46839... .</math>
: Постоје два угла чији је синус 0,46839..., то су приближно 28° и 152° (до најближег степена). Проверавамо да ли је угао од 152° могућа вредност за угао Х. Дакле <math>\angle X+\angle Y=152^o+42^o=194^o.</math> To je више од 180°, што је иначе [[збир углова у троуглу]], па овај угао не долази у обзир. Према томе, једини могући угао темена Х овог овог троугла је 28°.
О чему се заправо радило у последњем примеру (4)? На слици (7) десно видимо да [[кружница]] полупречника 10 са центром у Z сече страницу XY у само једној тачки (Х). То упоредимо са претходним примером (3) и сликом (6) где је слична кружница, са полупречником 4 и са центром у B пресекла страницу АС на два места, у тачкама C<sub>1</sub> и C<sub>2</sub>. У том претходном примеру (3), дати угао 36° налази се наспрам мање (4) од датих страница, па подаци ССУ дају два решења. Међутим, у последњем примеру (4), дати угао 42° налази се наспрам веће (10) од датих страница, и подаци ССУ дају само једно решење. Сагласно томе, став ССУ [[Подударност троуглова|подударности троуглова]] гласи: два [[Троугао|троугла]] су подударна када су им дате две странице и угао наспрам веће.
==Види још==
* [[Математика]]
* [[Геометрија]]
* [[Тригонометрија]]
* [[Равнинска тригонометрија]]
* [[Сферна тригонометрија]]
* [[Троугао]]
* [[Косинусна теорема]]
* [[Тангенсна теорема]]
* [[Решавање троугла]]
[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Математичке теореме]]
{{Link FA|km}}
[[ar:قانون الجيب]]
[[bg:Синусова теорема]]
[[bs:Sinusni teorem]]
[[ca:Teorema del sinus]]
[[cs:Sinová věta]]
[[sk:Sínusová veta]]
[[sl:Sinusni izrek]]
▲[[ Сликаsr: Sinusna-teorema.gif|мини|Сл.1. Синусна теорема]]
[[sv:Sinussatsen]]
[[tr:Sinüs teoremi]]
| 