Algebra: razlika između verzija

Dodano 146 bajtova ,  prije 13 godina
m
nema sažetka izmjene
mNo edit summary
{{BrisanjeČišćenje}}
{{Wiki}}
{{Sporna_autorska_prava|Imam osjećaj da je bukvalno prepisano odnekuda}}
== Algebra iskaza ==
 
-Def:Svaka smislena rečenica , izjava, tvrdnja, formula, za koju možemo utvrditi da li je tačna ili netačna, naziva se '''iskaz'''.
-Npr.“mlijeko“[[mlijeko]] je crno“ je netačan iskaz.
 
„5<7“-je netačan iskaz,
„X>10“-nije iskaz jer možemo utvrditi istinitost te rečenice.
 
-Iskaze, označavamo malim slovima: p,g,r,s,t,a njihove vrijednosti istinitosti sa T (ili 1),ako je iskaz tačan,odnosno sa (ili Q),ako je iskaz netačan.Funkciju koja određuje vrijednost istinitosti označimo sa i pišemo (p)=1 ako je „p“tačan„p“ tačan iskaz i i (g)=0 ako je „g“ netačan iskaz.
-U skup svih iskaza uvodimo operacije sa iskazima i negacijama , konjukcija, disjunkcija, isključna disjunkcija,implikacija, i ekvivalencija(T, ,V, ).
 
-Negacija iskaza „p“ je iskaz „Tp“ koji je tačan ako je „p“ netačan,a netačan ako je ž2p“ tačan.
 
-Konjukcija dva iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g koji je tačan ako i samo ako su dva iskaza „p“ i „g“ tačni.
-Ekvivalencija iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g(ako i samo ako) koji je tačan ako i samo ako „p“ i „g“ imaju iste vrijednosti istinitosti.
 
-Def:Algebarska struktura (0,1);T, ,V, ,tj.skup svih tačnih i netačnih iskaza sa operacijama,definicijama, između njih naziva se algebra iskaza.
 
-Algebarska struktura (0,1); ,V naziva se Boole-ova algebra.
Npr. F:(p Tg)Vr
G:(Tg g) r,itd.ž
-Za dvije formule A i B kažemo da su semantički ekvivalentne (istovrijedne) ako su za sve vrijednosti istinitosti prostih iskaza koji u n jima njima učestvuju odgovarajuće ,vrijednost simbolističkih formula A i B međusobno jednake. Tada pišemo:A=B,ili A
B.Vrijednostistinitosti Vrijednosti stinitosti iskazanih formulama provjeravamo primjeno0mprimjenom tabele istinitosti.
-Iskazne formule možemo podijeliti na tontologijetautologije, kontradikcije, i alternativne formule.
-Tantologija(kontički tačna formula)je tačna za sve vrijeednosti istinitosti prostih iskaza koji u njoj učestvuju.
-Kontradikcije (indentički netačna formula) je uvijek netačna, a alternativna formula je za neke vrijednosti prostih iskaza tačna, a za neke druge vrijednosti netačna.
 
Neke toutologije:
Neke tautologije:
 
1)T(p g)=TpVTg, T(pVg)=Tp Tg
(De Morgon-ove formule)
 
2)(p g) (Tg Tp) (zakon kontrpozicijekontrapozicije(kontradikcije))
 
3)pVTp=1 (zakon isključenja trećeg)
(zamjena ekvivalencije konjukcijom i disjunkcijom).
 
-Poznate su razne interpretacije algebre iskaza i interpretacija pomoću strujnog kola, ,aritmetička interpretacija,interpretacija modula ,itd.
 
-Npr.kod interpretacije pomoću strujnog kola prostim iskazima odgovaraju prekidači u strujnom kolu upaljeni ili ugašeni,u aktivnosti da li je iskaz tačan ili netačan. Konjukciji dva iskaza odgovara seriske veze,a disjunkcija paralelna veza.
 
-Npr.formuli F:(Tp g
Rečenice:
X<5, + =4, x-y+r=10
Nisu iskazi jer ne možemo odrediti vrijednosti istinitosti tih rečenica. Takve rečenice zovemo predikatima(jednosmjernim,dvosmjernim,trosmjernim,...). Uz njih često koristimo pomoćne simbole: (za svaki )univerzalni kvantiefekat,i (postoji)-egzintencijalnom kvantitorom.
(za svaki )univerzalni kvantiefekat,i (postoji)-egzintencijalnom kvantitorom.
( +y je tačan iskaz ako
( X X<-1 je netačan iskaz.
-Dakle primjenom kvantifaktora odpredikata dobijemo iskaze.
-Matematička disciplina koja detaljno označava algebru iskaza naziva se MAZEMATIČKAMATEMATIČKA LOGIKA.
 
== Algebra skupova ==
Pojam skupa smatra se osnovnim pojmom u matematici i ne definiše se . Skup spoznajemoprekospoznajemo preko njegovih elemenata.Skup zadajemo anabolički ili grafički,anabolički,analitički,nabrajanjem elemenata skupa ili davanjem svojstva koje elementiskupaelementi skupa zadovoljavaju a grafički pomoću Venovog dijagrama ili prikazom u koordinatnom sistemuz.Skupove označavamo velikim slovima. Razlikujemo konačne i beskonačne skupove . Poredak elemenata nije važan u skupu.
 
Npr.A=(a.A,1)=(A,a,1)
-Relacija < zove se inkluzija.
-Za skupove brojeva N,Z,Q,R,C imamo ovaj nizinkluzija:N<Z<Q<R<C.B i
-Def:-Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A=B ak je A B i B A. Simbolički:
(A=B) ).
-Čest je slučaj skupova A i B takvih da nije A B niti B A.Tada kažemo da su skupovi A i B neporedivi.
=== Operacije sa skupovima ===
 
-Presjek skupa A i B je skup A B koji sadrži zajedničke elementeskupovaelemente [[skup]]ova A i B. Pišemo:
A B=(X:X ).
-U slučaju da je A B = , tada kažemo da su skupovi A i B disjuktivni.
-Unija skupova A i B je skup AUB koji sadrži one i samo one elemente koji pripadaju barem jednom od skupova A i B.Pišemo:AUB=(X:X B).
-Neka je A B Kompelent (dopuna)skupa A u odnosu na skup B je skup svih elemenata iz B koji ne pripadaju skupu A.Pišemo:
C (A)=(X ).
-Razlika skupova A i B je skup A/B koji sadrži one elemente skupa A koji nisu u skupu B. Pišemo:
A/B=(X:X ).
-Simetrična razlika skupova A i B je skup A B koji sadrži sve elemente skupova A/B i B/A. Pišemo:
A A/B)U(B/A).
-Partitivni skup skupa A je skup svih podskupa skupa A.Pišemo:
-Npr:za A=(1,*,a) je
P(A)=( ,(1),(*),(a),(1,*),(1,a),(*,a),(1,*,a)).
 
[[Kategorija:Matematika]]
73.705

izmjena