Razlika između verzija stranice "Algebra"
Nova strana: == ALGEBRA ISKAZA == Def:Svaka smislena rečenica ,izjava,tvrdnja,formula,za koju možemo utvrditi da li je tačna ili netačna,naziva se iskaz. -Npr.“Zagreb je glavni grad BiH“ ... |
(Nema razlike)
|
Verzija na dan 20 septembar 2008 u 17:19
ALGEBRA ISKAZA
Def:Svaka smislena rečenica ,izjava,tvrdnja,formula,za koju možemo utvrditi da li je tačna ili netačna,naziva se iskaz. -Npr.“Zagreb je glavni grad BiH“ je netačan iskaz.
„5<7“-je netačan iskaz, „X>10“-nije iskaz jer možemo utvrditi istinitost te rečenice.
-Iskaze,označavamo malim slovima:p,g,r,s,t,a njihove vrijednosti istinitosti sa T (ili 1),ako je iskaz tačan,odnosno sa (ili Q),ako je iskaz netačan.Funkciju koja određuje vrijednost istinitosti označimo sa i pišemo (p)=1 ako je „p“tačan iskaz i i (g)=0 ako je „g“ netačan iskaz. -U skup svih iskaza uvodimo operacije sa iskazima i negacijama ,konjukcija,disjunkcija,isključna disjunkcija,implikacija,i ekvivalencija(T, ,V, ).
-Negacija iskaza „p“ je iskaz „Tp“ koji je tačan ako je „p“ netačan,a netačan ako je ž2p“ tačan.
-Konjukcija dva iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g koji je tačan ako i samo ako su dva iskaza „p“ i „g“ tačni.
-Disjunkcija dva iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz pVg koji je tačan ako i samo ako je barem jedan od iskaza „p“ i „g“ tačan.
-Implikacija iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g (ako „p“,onda“g“) koji je netačan jedino u slučaju kada je „p“ tačan a „g“ netačan iskaz.
-Ekvivalencija iskaza „p“ i „g“ je složeni iskaz p g(ako i samo ako) koji je tačan ako i samo ako „p“ i „g“ imaju iste vrijednosti istinitosti.
p g Tp pΛg pVg p=>g p<=>g pVg
1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0
-Def:Algebarska struktura (0,1);T, ,V, ,tj.skup svih tačnih i netačnih iskaza sa operacijama,definicijama,između njih naziva se algebra iskaza.
-Algebarska struktura (0,1); ,V naziva se Boole-ova algebra.
-Primjenom konačnog broja prostih iskaza i operacija sa iskazima dobijamo složene iskaze koje zovemo i iskazne formule.Njih najčešće označavamo velikim slovima: Npr. F:(p Tg)Vr G:(Tg g) r,itd.ž -Za dvije formule A i B kažemo da su semantički ekvivalentne (istovrijedne) ako su za sve vrijednosti istinitosti prostih iskaza koji u n jima učestvuju odgovarajuće ,vrijednost simbolističkih formula A i B međusobno jednake.Tada pišemo:A=B,ili A B.Vrijednostistinitosti iskazanih formulama provjeravamo primjeno0m tabele istinitosti. -Iskazne formule možemo podijeliti na tontologije,kontradikcije,i alternativne formule. -Tantologija(kontički tačna formula)je tačna za sve vrijeednosti istinitosti prostih iskaza koji u njoj učestvuju. -Kontradikcije(indentički netačna formula)je uvijek netačna,a alternativna formula je za neke vrijednosti prostih iskaza tačna,a za neke druge vrijednosti netačna. Neke toutologije:
1)T(p g)=TpVTg, T(pVg)=Tp Tg (De Morgon-ove formule)
2)(p g) (Tg Tp) (zakon kontrpozicije(kontradikcije))
3)pVTp=1 (zakon isključenja trećeg)
4)(p g) TpVg (zamjena implikacije disjunkcijom)
5)(p g) (p p)
6)(p (zamjena ekvivalencije konjukcijom i disjunkcijom).
-Poznate su razne interpretacije algebre iskaza i interpretacija pomoću strujnog kola ,aritmetička interpretacija,interpretacija modula ,itd.
-Npr.kod interpretacije pomoću strujnog kola prostim iskazima odgovaraju prekidači u strujnom kolu upaljeni ili ugašeni,u aktivnosti da li je iskaz tačan ili netačan.Konjukciji dva iskaza odgovara seriske veze,a disjunkcija paralelna veza.
-Npr.formuli F:(Tp g
(T(Tp)Vr) g (pVr) g
Odgovara strujno kolo:
(F)=1 ,
Rečenice: X<5, + =4, x-y+r=10 Nisu iskazi jer ne možemo odrediti vrijednosti istinitosti tih rečenica.Takve rečenice zovemo predikatima(jednosmjernim,dvosmjernim,trosmjernim,...).Uz njih često koristimo pomoćne simbole:
(za svaki )univerzalni kvantiefekat,i (postoji)-egzintencijalnom kvantitorom.
( +y je tačan iskaz ako ( X X<-1 je netačan iskaz. -Dakle primjenom kvantifaktora odpredikata dobijemo iskaze. -Matematička disciplina koja detaljno označava algebru iskaza naziva se MAZEMATIČKA LOGIKA.