Razlika između verzija stranice "Niz"
| [nepregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
Red 107:
Za niz <math>\{a_n\}</math> kažemo da divergira u <math>-\infty</math> ako za svaki realan broj <math>B < 0</math> postoji prirodan broj <math>n_0(B)</math> takav da za sve <math>n>n_0(B)</math> vrijedi: <math>a_n < B</math>, i u tom slučaju pišemo <math>\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = -\infty</math> odnosno da <math>a_n\longrightarrow -\infty</math>.
== Konvergencija funkcionalnih nizova ==
U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.
===Konvergencija po tačkama===
Neka je <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> neki niz funkcija definisanih na nekom skupu <math>D</math>. Ako odaberemo neko proizvoljno <math>x_0\in D</math>, onda stavljajući <math>x=x_0</math> dobivamo brojni niz <math>\{f_n(x_0)\}</math>.
Ako ovaj niz (kao brojni niz) '''konvergira''', onda kažemo da niz <math>\{f_n(x)\}</math> '''konvergira u tački''' <math>x_0</math>.
Ako niz <math>\{f_n(x)\}</math> konvergira u svakoj tački <math>x\in D</math>, onda kažemo da niz konvergira na <math>D</math>.
Ovaj vid konvergencije niza <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> često nazivamo '''konvergencija po tačkama'''.
===Ravnomjerna (uniformna) konvergencija===
Neka su na nekom skupu <math>D</math> definisane funkcije <math>f_n(x)</math> (n=1,2,3,...).
Kažemo da niz <math>\{f_n(x)\}</math> '''ravnomjerno (uniformno)''' na <math>D</math> konvergira ka funkciji <math>f(x)</math> ako za svako <math>\epsilon > 0</math> postoji prirodan broj <math>n_0=n_0(\epsilon)</math> koji zavisi samo od <math>\epsilon</math> i takav je da za svako <math>x\in D</math> vrijedi
<center><math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon</math> čim je <math>n\geq n_0</math></center>
===Konvergencija gotovo svuda===
Ako niz <math>\{f_n(x)\}</math> konvergira za gotovo svako <math>x\in D</math>, osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira '''gotovo svuda''' na <math>D</math>.
===Konvergencija u mjeri===
Za niz <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> <math>\mu</math>- izmjerivih funkcija na prostoru mjere <math>(X,M,\mu)</math> kažemo da konvergira u mjeri <math>\mu</math> ka funkciji <math>f(x)</math>, ako za svako <math>\epsilon > 0</math> vrijedi
<center><math>\mu\{x\in X : |f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\longrightarrow 0</math> kada <math>n \longrightarrow \infty</math></center>
===Konvergencija u normi===
Za niz <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}</math> <math>\mu</math>- izmjerivih funkcija na prostoru mjere <math>(X,M,\mu)</math> kažemo da konvergira u normi <math>L^p</math> <math>(p\geq 1)</math> ako vrijedi:
<center><math>(L)\int_{X}|f_n(x)-f(x)|^p d\mu \longrightarrow 0</math> kada <math>n\longrightarrow\infty</math></center>
[[Kategorija:Matematika]]
| |||