Razlika između verzija stranice "Numerička integracija"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m →Reference: ISBN magic link > {{ISBN}}; razne ispravke |
m Bot: Replace deprecated <source> tag and "enclose" parameter; kozmetičke promjene |
||
Red 1:
{{dobar članak}}
[[Datoteka:Integral as region under curve.svg|
U [[Numerička analiza|numerici]], '''numerička integracija''' se sastoji od velike porodice algoritama za računanje numeričke vrijednosti određenog integrala, a termin je također korišten da opiše numeričko rješenje [[Diferencijalna jednačina|diferencijalne jednačine]]. Termin '''numerička kvadratura''' je manje-više sinonim za numeričku integraciju, pogotovo za jednodimenzionalne integrale. Numerička integracija u više dimenzija se opisuje kao '''kubatura''',<ref>{{MathWorld | urlname=Cubature | title=Cubature }}</ref> iako se izrazom ''kvadratura ''podrazumijeva i višedimenziona integracija.
Red 13:
'''Kvadratura '''je matematički historijski pojam, a znači računanje površine. Kvadraturni problemi su bili glavni zadaci koji su zadavani kao izvor za [[Matematička analiza|matematičku analizu]]. Matematičari [[Stara Grčka|Stare Grčke]], prema Pitagorinoj doktrini, shvatili su računanje površine kao proces konstrukcije geometrijskog kvadrata koji ima jednaku površinu (''kvadriranje''). To je razlog zašto je proces nazvan '''kvadratura'''. Naprimjer: kvadratura kruga, hipokratov mjesec i kvadratura parabole. Ova konstrukcija mora biti izvedena jedino upotrebom šestara i lenjira.
[[Datoteka:Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG|
Za kvadraturu pravougaonika sa stranicama ''a'' i ''b'' potrebno je konstruisati kvadrat sa stranicom: <math>x =\sqrt {ab}</math>
U ovu svrhu, moguće je koristiti sljedeću činjenicu: ako se nacrta krug sa zbirom stranica ''a'' i ''b'' kao prečnik, onda je visina BH (sa tačke njihovog dodira do presjecanja sa krugom) jednaka njihovoj geometrijskoj sredini. Jednaka geometrijska konstrukcija rješava problem kvadrature paralelograma i trougla.
[[Datoteka:Parabola and inscribed triangle.svg|
Problemi kvadrature za krivolinijske figure su mnogo komplikovaniji. Kvadratura jednog kruga sa šestarom i lenjirom je bila dokazana u 19. vijeku kao nemoguća. Ipak, za neke oblike (naprimjer hipokratov mjesec) kvadratura se može obaviti. Kvadrature sferične površine i dijela parabole urađena od strane [[Arhimed]]<nowiki/>a je postao najveći uspjeh u antičkoj analizi.
* Površina lopte je jednaka četverostrukoj površini velikog kruga ove lopte.
Red 32:
Sa otkrićem integralnog računa došla je univerzalna metoda za računanje površine. Kao odgovor, termin '''kvadratura''' je postao tradicionalan, a umjesto toga moderna fraza "''računanje određenog integrala''" je češće upotrebljavana.
== Razlozi za numeričku integraciju ==
Postoji više razloga zašto se koristi numerička integracija. Funkcija koja se integriše ''f(x)'' može biti poznata samo na pojedinim mjestima, što se radi uzimanjem uzorka. Neki super računari i ostale računarske aplikacije nekad trebaju numeričku integraciju baš radi ovog razloga.
Red 40:
Moguće je naći antiderivaciju simbolično, ali je mnogo jednostavnije naći numeričku aproskimaciju nego računati antiderivaciju (anti-izvod). Ovo može biti korišteno ako je antiderivacija data kao neograničeni niz proizvoda, ili ako bi proračun zahtjevao specijalne funkcije koje nisu dostupne računarima.
== Metode za jednodimenzione integrale ==
Metode numeričke integracije se mogu generalno opisati kao kombinacije procjena integranda (funkcije) da se dobije aproksimacija integrala. Integrand
Važan dio analize bilo koje numeričke integracione metode je proučavanje ponašanja greške aproksimacije kao funkcija broja procjene integranda. Metoda koja ima malu grešku za mali broj procjena je često smatrana superiornom. Smanjenjem broja procjena integranda, smanjuje se i broj korištenih aritmetičkih operacija, te se smanjuje ukupna greška proračuna. Takođe, svaka procjena uzima vrijeme, a integrand može biti svojevoljno komplikovan.
Red 48:
''Brute force'' metoda ("nasilna metoda" koja koristi sve kombinacije) numeričkog integrisanja može biti obavljena ako integrand ima "dobro ponašanje" (tj. ako je funkcija kontinualna i iz ograničene varijacije), sa procjenom integranda sa veoma malim korakom - inkrementom.
=== Kvadraturna pravila bazirana na interpolaciji funkcija ===
Veliki broj kvadraturnih pravila se može naći izvođenjem funkcija koje su jednostavne za integriranje. Najčešće funkcije koje se interpoliraju su polinomi.
[[Datoteka:Integration rectangle.svg|
Najjednostavnija metoda ovog tipa je dopuštanje da interpolirana funkcija bude konstantna (polinom nultog stepena) funkcija koja prolazi kroz tačku sa koordinatama ((''a''+''b'')/2, ''f''((''a''+''b'')/2)). Ovo se zove ''pravilo sredine (srednje tačke)'' ili ''kvadratno pravilo''.
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx (b-a) \, f\left(\frac{a+b}{2}\right)</math>
[[Datoteka:Integration trapezoid.svg|
Interpolacijska funkcija može biti polinom prvog stepena koja prolazi kroz tačke: (''a'', ''f''(''a'')) i (''b'', ''f''(''b'')). Ovo se zove ''[[trapezno pravilo]]''.
:<math>\int_a^b f(x)\,dx \approx (b-a) \, \frac{f(a) + f(b)}{2}.</math>
[[Datoteka:Integration simpson.png|
Za bilo koje od ovih pravila se može napraviti preciznija aproksimacija prekidanjem intervala [a, b] na veći broj podintervala, računajući aproksimaciju za svaki podinterval, te sabirajući sve u jedan rezultat. Ovo se zove ''kompozitno pravilo'', ''prošireno pravilo'' ili ''iterativno pravilo''. Naprimjer, kompozitno trapezno pravilo ima slijedeći oblik:
Red 81:
Ako ''f(x)'' nema puno izvoda na svim tačkama, ili ako izvodi postanu ogromni, onda Gausova kvadratura je često nedovoljna. U tom slučaju, algoritam ispod će bolje uraditi zadatak:
<
def racunanje_odredjenog_integrala(f, initial_step_size):
'''
Red 103:
h = make_h_larger(h) # Izbjegavanje dangubljenja na malim koracima.
return akumulator
</syntaxhighlight>
Neki detalji algoritma zahtjevaju pažljiv pristup. Za više slučajeva, pronalazak greške kvadrature na intervalu za funkciju ''f''(''x'') nije očita. Jedna poznata solucija je da se koriste dva pravila kvadratura i korištenjem razlike se može procijeniti greška kvadrature. Čest problem je odlučiti šta označava "premalo" ili "preveliko". Lokalni kriterij za "preveliko" je da kvadraturna greška ne smije biti veća od ''t''
=== Metoda ekstrapolacije ===
Preciznost kvadraturnog pravila kod Newton-Cotes tipa je uglavnom funkcija broja na tačkama procene. Rezultat je često više pouzdan kad se broj tačaka poveća, ili, ekvivalentno, kad se razmaci između tačaka smanje. Nameće se pitanje kakav bi rezultat bio kada bi razmaci među tačkama bili jednaki nula. Ovo se može odgovoriti ekstrapolacijom rezultata od dva do ''n'' razmaka koristeći ubrzavajuće metode kao npr. Richardsonove ekstrapolacije. Ekstrapolaciona funkcija može biti polinom ili racionalna
=== Konzervativna (a priori) procjena greške ===
Red 173:
Metode razvijene za uobičajene diferencijalne jednačine, kao Runge-Kutta, može biti iskorišteno na ponovljeni problem i za proračun integrala. Naprimjer, standardna Runge-Kutta metoda iskorištena na diferencijalnu jednačinu kreira Simpsonovo pravilo odozgo.
Diferencijalna jednačina ''F''
== Također pogledajte ==
* [[Numeričko rješavanje diferencijalnih jednačina]]
* [[Greška zaokruživanja (numerika)]]
* [[Trapezno pravilo]]
== Reference ==
{{reflist}}
* [[Philip J. Davis]] and [[Philip Rabinowitz (mathematician)|Philip Rabinowitz]], ''Methods of Numerical Integration''. - (''bos.'' Metode numeričke integracije)
Red 189:
* [[Howard Eves|Eves, Howard]], ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, {{ISBN|0-03-029558-0}},
== Vanjski linkovi ==
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/07int/index.html Integracija: Pozadina, simulacije, itd.] (en) na Holistic Numerical Methods Institute
=== Besplatan softver za numeričku integraciju ===
Numerička integracija je jedan od najviše istraživanih problema u numerici. Od velikog broja softverskih rješenja, izdvojeno je nekoliko besplatnih paketa otvorenog koda:
| |||