Razlika između verzija stranice "Relacija ekvivalentnosti"

[pregledana izmjena][pregledana izmjena]
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
Napravljeno prevođenjem stranice "Equivalence relation"
 
mNo edit summary
Red 1:
 
[[Datoteka:Set_partitions_5;_matrices.svg|desno|mini| 52 relacije ekvivalentnosti u skupu s 5 elemenata, prikazano kao 5×5 logičkih matrica (obojena polja, uključujući ona u svijetlosivoj boji, predstavljaju jedinice; bijela polja predstavljaju nule.) Indeksi redova i kolona bijelih ćelija su povezani elementi, dok različite boje, osim svijetlo sive, označavaju klase ekvivalencije (svaka svijetlosiva ćelija je svoja klasa ekvivalencije). ]]
U [[Matematika|matematici]], '''relacija ekvivalentnosti''' je binarna relacija koja je [[Refleksivna relacija|refleksivna]], [[Simetrična relacija|simetrična]] i [[Tranzitivna relacija|tranzitivna]] . Relacija "jednak je" je kanonski primjer relacije ekvivalencije, gdje za bilo koje objekte {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}} i {{Mvar|c}} važi:
 
* {{Math|''a'' {{=}} ''a''}} (refleksivno svojstvo),
Red 7:
* ako su {{Math|''a'' {{=}} ''b''}} i {{Math|''b'' {{=}} ''c''}} onda je {{Math|''a'' {{=}} ''c''}} (tranzitivno svojstvo).
 
Kao posljedica refleksivnih, simetričnih i tranzitivnih svojstava, bilo koja relacija ekvivalencije pruža particiju temeljnog skupa u odvojene klase ekvivalencije . Dva elementa datog skupa jednaki su međusobno ako i samo ako pripadaju istoj klasi ekvivalencije.
 
== Notacija ==
Red 15:
Za određenu binarnu relaciju ~ u skupu ''X'' kaže se da je to relacija ekvivalencije ako i samo ako je ona refleksivna, simetrična i tranzitivna. To jest za sve ''a'', ''b'' i ''c'' u skupu ''X'':
 
* ''a'' ~ ''a'' ( [[Refleksivna relacija|Refleksivnost]] )
* ''a'' ~ ''b'' ako i samo ako je ''b'' ~ ''a'' . ( [[Simetrična relacija|Simetrija]] )
* ako su ''a'' ~ ''b'' i ''b'' ~ ''c,'' onda ''a'' ~ ''c'' . ( [[Tranzitivna relacija|Tranzitivnost]] )
 
''X'' zajedno s relacijom ~ naziva se [[setoid ]]. Klasa ekvivalencije od <math>a</math> sa ~, označeno kao <math>[a]</math>, je definirana kao <math>[a] = \{b\in X \mid a\sim b\}</math>.
 
== Primjeri ==