Razlika između verzija stranice "Površina"

[[Datoteka:Area.svg|alt=Three shapes on a square grid|right|thumb|Ukupna površina ova tri oblika je približno 15,57 [[Kvadrat|kvadratakvadrat]]a.]]

'''Površina''' je količina koja opisuje u kojoj je mjeri dvodimenzionalna figura ili oblik, ili planarne lamine, u [[Ravan (matematika)|ravni]]. Površina je njen analogni pojam na dvodimenzionalnoj [[Površ|površipovrš]]i trodimenzionalnog oblika. Površina može biti shvaćena kao količina materijala sa datom debljinom koja bi bila potrebna da obuče model oblika, ili količina boje potrebne da prekrije površ pri jednom nanosom.<ref name="MathWorld">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title = Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3. July7. 2012}}</ref> To je dvodimenzionalni analog [[Dužina|dužine]] krivulje (jednodimenzionalni koncept) ili [[Volumen|zapremine]] čvrstog tijela (trodimenzionalni koncept).

Površina oblika može biti izmjerena poredeći oblik sa [[Kvadrat|kvadratimakvadrat]]ima fiksne veličine.<ref name="AF">{{cite web|url = http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title = Area Formulas|publisher = Math.com|accessdate = 2. July7. 2012}}</ref> U [[SI sistem|SI sistemu]]u, standardna jedinica površine je [[kvadratni metar]] (piše se kao m²), što je površina kvadrata čije su stranice duge po jedan [[metar]].<ref name="B">[[Međunarodni biro za tegove i mjere|Bureau International des Poids et Mesures]] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)], retrieved 15 July 2012</ref> Oblik sa površinom od tri kvadratna metra bi imao istu površinu kao i tri takva kvadrata. U [[Matematika|matematici]], jedinica kvadrata je definisana da ima površinu od jedan, i površinu od bilo kojeg oblika ili površi je [[Bezdimenzionalna veličina|bezdimenzioni realni broj]].

Postoji nekoliko dobro poznatih formula za površine manjih oblika kao što su [[Trougao|trouglovi]], [[Pravougaonik|pravougaonici]] i [[Kružnica|krugovi]]. Koristeći ove formule, površina svakog [[Poligon|poligonapoligon]]a može se naći dijeljenjem poligona u trouglove.<ref name="bkos">{{Cite book|author1 = Mark de Berg|author2 = Marc van Kreveld|author3 = Mark Overmars|author3-link = Mark Overmars|author4 = Otfried Schwarzkopf|year = 2000|title = Computational Geometry|publisher = [[Springer-Verlag]]|edition = 2nd revised|isbn = 3-540-65620-0|chapter = Chapter 3: Polygon Triangulation|pages = [https://archive.org/details/computationalgeo00berg/page/45 45–61]|postscript = <!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}|url = https://archive.org/details/computationalgeo00berg/page/45}}</ref> Za oblike sa zakrivljenim granicama, [[kalkulus]] se često koristi da se izračuna površina. Doista, problem određivanja površine ravnih figura bio je veća motivacija za historijski razvoj kalkulusa (matematička analiza).<ref>{{cite book|first = Carl B.|last = Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer|title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher = Dover|year = 1959|isbn = 0-486-60509-4|url = https://archive.org/details/historyofcalculu00boye}}</ref>

Za čvrsti oblik kao što je [[sfera]], [[Kupa (geometrija)|konus]] ili cilindar, površina njihovih površi naziva se površina površi.<ref name="MathWorld">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title = Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3 July 2012}}</ref><ref name="MathWorldSurfaceArea">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|title = Surface Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3. July7. 2012}}</ref> formule za površine jednostavnih oblika bile su računate u doba drevnih Grka, ali računanje površine komplikovanijih oblika obično zahtijeva multivarijabilni kalkulus.

Površina igra važnu ulogu u modernoj matematici. U dodatku sa očiglednom važnošću u [[Geometrija|geometriji]] i kalkulusu, površina je vezana za definiciju determinanti u [[Linearna algebra|linearnoj algebri]], te je osnovna osobina površi u diferencijalnoj geometriji.<ref name="doCarmo">[[Manfredo do Carmo|do Carmo, Manfredo]]. </ref> U [[Analiza|analizi]], površina podskupa ravni je definisana korištenjem mjere Lebega,<ref name="Rudin">Walter Rudin, ''Real and Complex Analysis'', McGraw-Hill, 1966, {{ISBN |0-07-100276-6}}.</ref> ipak nije svaki podskup mjerljiv.<ref>Gerald Folland, Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., 1999,Page 20,{{ISBN |0-471-31716-0}}</ref> Generalno, površina u višoj matematici vidi se kao specijalan slučaj [[Volumen|zapremine]] za dvodimenzionalne regije.<ref name="MathWorld">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title = Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3 July 2012}}</ref>

Pristup definisanju šta se misli pod pojmom "površina" jesu [[Aksiom|aksiomiaksiom]]i. "Površina" može biti definisana kao funkcija iz kolekcije M specijalne vrste ravnih figura (nazvani mjerljivi skupovi) ka skupu realnih brojeva koji zadovoljavaju slijedeće osobine:

Može biti dokazano da takva površinska funkcija doista postoji.<ref name="Moise">{{cite book|last = Moise|first = Edwin|title = Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url = http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate = 15. July7. 2012|year = 1963|publisher = Addison-Wesley Pub. Co.|isbn = |page = }}</ref>