Verzija na dan 3 februar 2019 u 19:18 uredi Texvc2LaTeXBot (razgovor \| doprinosi) 19 edits m Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap ← Starija izmjena		Verzija na dan 12 april 2019 u 12:15 uredi poništi IvanP (razgovor \| doprinosi) 10 edits mNo edit summary Novija izmjena →
Red 23: gdje su ''x'' i ''y'' [[realni brojevi]], a ''i'' se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i<sup>2</sup> = -1. Realni broj <math>x</math> se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa <math>\operatorname{Re}(z)</math>, a <math>y</math> se naziva imaginarni dio i označava se sa <math>\operatorname{Im}(z)</math>. Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. <math>x = x + 0 i</math>. Povremeno se moze naići na definiciju <math>i=\sqrt{-1}</math>. U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. <math>\sqrt{-1}\cdot\sqrt {-1}=\sqrt{1}=1</math>. U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja <math>i=\sqrt{-1}</math>imamo: <math>i\cdot i=-1</math> što je i korektan rezultat. Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni [[vektor]]i ili uređeni parovi <math>(x,y)</math> realnih brojeva. Red 46: Posebno je <math>0=0+i0</math>. <math>x=\~~mathrm~~operatorname{Re}( z)</math> je realni dio kompleksnog broja <math>z</math>, <math>y=\~~mathrm~~operatorname{Im} z</math> je imaginarni dio kompleksnog broja <math>z</math>. ;Algebarski oblik kompleksnog broja je Red 60: pri čemu je <math>r=~~\mid~~ \|z~~\mid~~\|</math> modul <math>\theta = \operatorname{Arg} z</math> argument Red 70: pri čemu je <math>r=~~\mid~~ \|z~~\mid~~\|</math> modul <math>\theta = \operatorname{Arg} z</math> argument Red 115: ====Osobine množenja kompleksnih brojeva==== <math>z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 </math> za <math>\forall z_1,z_2 \in \mathbb{C}</math> komutativnost množenja <math display="inline">z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3</math> za <math>\forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> asocijativnost množenja <math>\exists 1\in \mathbb{C} z1\cdot1=z</math> za <math>\forall z \in \mathbb{C}</math> neutralni element <math>1</math> za množenje <math>(\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )(\exists z'\in \mathbb{C}) z\cdot(-z)=1 </math> postojanje reciproćnog elemanta <math>z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3</math> za <math>\forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> distributivnost množenja u odnosu na sabiranje <ref name="skupkomplbr"/> ====Realan proizvod dva kompleksna broja==== Red 133: <math>a \circ b =\frac{1}{2}( \overline{a}b+a\overline{b})</math> Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima <math>a = ~~\mid~~ \|a ~~\mid~~\|(\cos \varphi +i \sin \varphi)</math> i<math>b = ~~\mid~~ \|b ~~\mid~~\|(\cos \psi +i \sin \psi)</math> Lako je provjeriti da je <math>a \circ b = ~~\mid~~ \|a ~~\mid \mid~~ \|\|b ~~\mid~~\| ( \cos \varphi+i \sin \psi)= ~~\mid~~ \|OA ~~\mid \mid~~ \|\|AB ~~\mid~~\| \cos \widehat{AOB} </math> Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja #<math>a \circ a = ~~\mid~~ \|a ~~\mid~~ \|^2</math> #<math>a \circ b = b \circ a</math> #<math>\overline{a \circ b}=a \circ b</math> #<math>(\alpha a )\circ b =\alpha(a \circ b )=a \circ ( \alpha b)</math> #<math>(az))(bz)= ~~\mid~~ \|z ~~\mid~~ \|^2 (a\circ b)</math> #<math>a\circ b = 0 \quad \Leftrightarrow \quad OA \perp OB</math> (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima <math>a</math> i <math>b</math>) Red 150: </math>, potencija tačke <math>O</math> u odnosu na krug sa središtem u tački <math>M</math> i poluprečnikom <math>r = \frac{a-b}{2}= \frac{~~\mid~~ \|a-b ~~\mid~~\|}{2}</math> jednaka je <math>OM^2 - r^2 =\~~mid~~ left\|\frac{a+b}{2} \~~mid~~right\| -\~~mid~~ left\|\frac{a-b}{2} \~~mid~~right\| = \frac{(a+b)(\overline{a}+\overline{b}) }{4}-\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b}) }{4}= a\circ b </math> Red 178: Neka su <math>A</math> i <math>B</math> tačke određene kompleksnim brojevima <math> a = ~~\mid~~ \|a ~~\mid~~\|(\cos\varphi +i \sin \varphi)</math> i <math>a = ~~\mid~~ \|b ~~\mid~~\|(\cos\psi +i \sin \psi)</math> Lako je provjeriti da je <math>~~\mid~~ \|a \times b ~~\mid~~\| =~~\mid~~ \|a ~~\mid \mid~~ \|\|b ~~\mid~~ \|\sin(\varphi -\psi)= ~~\mid~~ \|OA ~~\mid \mid~~ \|\|AB ~~\mid~~ \|\sin\widehat{AOB}=2P_{AOB} </math> Neka su <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine Red 202: <math>a \times b = \begin{cases} 2iP_{AOB} \text{ za \ trougao \ }AOB \text{ pozitivno \ orijentisan }\\ -2iP_{AOB} \text{ za \ trougao \ }AOB \text{ negativno \ orijentisan} \end{cases}</math> Neka su <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math> i <math>C(c)</math> tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Red 209: <math>P_{ABC}=\begin{cases} \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\text{ ako \ je \ }ABC \text{ pozitivno \ orjentisan} \\ \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\text{ ako \ je \ }ABC \text{ negativno \ orjentisan} \end{cases}</math> Red 239: imamo <math>z'\cdot z=z\cdot z'=1 </math> <math>z'=z^{-1}=\frac{1}{z}</math> Red 260: \overline{z_1-z_2} =\overline{z_1} -\overline{z_2}</math> #<math> \overline{z_1\cdot z_2} =\overline{z_1} \cdot\overline{z_2}</math> #<math> \overline{(\frac{z_1}{z_2})} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}}</math> <ref name="skupkomplbr"/> Neka je <math>z=r(\cos \theta+ i\sin \theta)= r\ operatorname{cis} \theta</math> trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je <math>z^2=z\cdot z</math> <math>z^2=r\ operatorname{cis} \theta \cdot r\ operatorname{cis} \theta =r^2 \ operatorname{cis} (\theta + \theta)= r^2 \ operatorname{cis} 2\theta</math> <math>z^3=r^2\ operatorname{cis} 2\theta \cdot r\ operatorname{cis} \theta =r^3 \ operatorname{cis} (2\theta + \theta)= r^3 \ operatorname{cis} 3\theta</math> <math>z^4=r^3\ operatorname{cis} 3\theta \cdot r\ operatorname{cis} \theta =r^4 \ operatorname{cis} (3\theta + \theta)= r^4 \ operatorname{cis} 4\theta</math><ref name="elektronis"/> Na ovaj način dobijamo opći oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici <math>z^n= r^n \ operatorname{cis} n\theta</math> ili <math>(\cos \theta+ i\sin \theta)^n= \cos n\theta + i\sin n\theta (n \in Z)</math><ref name="elektronis"/> Red 399: Neka su zadani kompleksni brojevi <math>z_1=r_1(\cos\varphi_1+~~isin~~i\sin\varphi_1)</math> i <math>z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)</math> onda je <ref name="mnozenje"/> Red 418: <math>z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)</math> i <math>z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)</math> <math>\frac{z_1}{z_2}= \frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}= \frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}\cdot \frac{r_1(\cos\varphi_2-~~isin~~i\sin\varphi_2)}{r_2(\cos\varphi_2-~~isin~~i\sin\varphi_2)} </math> <ref name="mnozenje">[https://profesorka.wordpress.com/2014/02/19/mnozenje-i-deljenje-kompleksnih-brojeva-u-trigonometrijskom-obliku/ Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku], 19. februar 2014, {{Simboli jezika\|sr\|srpski}}</ref> u općem slučaju važi <math>\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cos\varphi_1\cos\varphi_2-i\cos\varphi_1\sin\varphi_2+i\cos\varphi_2\sin\varphi_1-i^2\sin\varphi_1\sin\varphi_2}{\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2}</math> <math>\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin (\varphi_1-\varphi_2)) = \frac{r_1}{r_2}(\operatorname{cis}(\varphi_1-\varphi_2))</math> ==De Moavrova formula == Neka je <math>z=r(\cos \theta+ i\sin \theta)= r\ operatorname{cis} \theta</math> trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je <math>z^2=z\cdot z</math> <math>z^2=r\ operatorname{cis} \theta \cdot r\ operatorname{cis} \theta =r^2 \ operatorname{cis} (\theta + \theta)= r^2 \ operatorname{cis} 2\theta</math> <math>z^3=r^2\ operatorname{cis} 2\theta \cdot r\ operatorname{cis} \theta =r^3 \ operatorname{cis} (2\theta + \theta)= r^3 \ operatorname{cis} 3\theta</math> <math>z^4=r^3\ operatorname{cis} 3\theta *\cdot r\ operatorname{cis} \theta =r^4 \ operatorname{cis} (3\theta + \theta)= r^4 \ operatorname{cis} 4\theta</math> Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

Razlika između verzija stranice "Kompleksan broj"