Razlika između izmjena na stranici "Racionalni broj"

Dodano 3.370 bajtova ,  prije 3 godine
nema sažetka izmjene
m (Uklanjanje Link FA/FL/GA)
 
Skup racionalnih brojeva<math>\mathbb{Q}</math> je skup svih klasa ekvivalencije <br /> na skupu <math>\mathbb{Z}</math> x <math>\mathbb{N}</math>, odnosno <math>\mathbb{Q}</math>={m/n: m<math>\in\mathbb{Z}</math>, n<math>\in\mathbb{N}</math>}
Dok su skupovi <math>\mathbb{N}</math> i <math>\mathbb{Z}</math> '''diskretni''', skup <math>\mathbb{Q}</math> je '''gust''' (između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).
<br />
 
Za brojanje raznih predmeta i životinja dovoljni su cijeli brojevi, djeca broje jabuke i kruške, također, cijelim brojevima, ali ako jednu jabuku treba da podijeli dvoje djece onda je svako od njih dobio pola jabuke . To pišemo sa 1/2.
 
Da je trebalo jabuku dijeliti na tri dijela, pisali bi da je svatko dobio 1/3 jabuke.<br />Dakle, skup racionalnih brojeva <math>\mathbb{Q}</math> uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva <math>\mathbb{Z}</math>.
 
Ako su a,b,c<math>\in\mathbb{Z}</math> kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji<br /> cijeli broj c takav da je a=b&times;c
 
Definicija skupa racionalnih brojeva:
 
'''Skup racionalnih brojeva'''<math>\mathbb{Q}</math> je skup svih klasa ekvivalencije <br /> na skupu <math>\mathbb{Z}</math> x <math>\mathbb{N}</math>, odnosno <math>\mathbb{Q}</math>={m/n: m<math>\in\mathbb{Z}</math>, n<math>\in\mathbb{N}</math>}
Dok su skupovi <math>\mathbb{N}</math> i <math>\mathbb{Z}</math> '''diskretni''', skup <math>\mathbb{Q}</math> je '''gust''' ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).
 
==Definicija==
Skup racionalnih brojeva <math>\mathbb{Q}</math> je skup svih klasa ekvivalencije na skupu <math>\mathbb{Z} x \mathbb{N},</math> odnosno
 
<math>\mathbb{Q} = </math> {<math>\frac{m}{n} </math> <math>m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}</math>}
 
Dok su skupovi <math>\mathbb{N}</math> i <math>\mathbb{Z}</math> diskretni, skup <math>\mathbb{Q}</math> je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).
 
== Sabiranje==
U skupu <math>\mathbb{Q}</math> definisano je sabiranje
:<math>\frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}</math> za <math>b\ne 0</math> <math>d\ne 0</math>
 
===Osobine sabiranja===
Radi lakšeg pisanja uvedimo oznaku
:<math>\frac{a}{b} =r</math>
: <math>r_1+r_2=r_2+r_1 </math> komutativnost
: <math>(r_1+r_2)+r_3=r_1+(r_2+r_3) </math> asocijativost
: <math>r +(-r)=0</math> inverzan broj
 
Brojevi <math>\frac{a}{b}</math> i <math> -\frac{a}{b}</math> su suprotni
:<math>r+0=r</math> neutralan elemenat
 
== Oduzimanje ==
Kao i u skupu cijelih brojeva <math>\mathbb{Z}</math> oduzimanje se svodi na sabiranje
:<math>r_1-r_2=r_1+(-r_2)</math>
 
== Množenje ==
U skupu <math>\mathbb{Q}</math> definisano je množenje
:<math>\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}</math> za <math>b\ne 0</math> <math>d\ne 0</math>
 
===Osobine množenja===
 
: <math>r_1*r_2=r_2*r_1 </math> komutativnost
: <math>(r_1*r_2)*r_3=r_1*(r_2*r_3) </math> asocijativnost
: <math>r *\frac{1}{r}=1</math> inverzan broj
: <math>r*1=r</math> neutralan elemenat
: <math>r*(-1)= -r</math>
: <math>r*0=0</math>
: <math>\frac{0}{a}=0</math>
 
: <math>r_1(r_2+r_3)=r_1*r_2+r_1*r_3</math> distribucija množenja u odnosu na dijeljenje
 
==Dijeljenje ==
: <math> \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}* \frac{d}{c}= \frac{ad}{bc} </math>
 
===Upoređivanje===
: <math> \frac{a}{b} < \frac{c}{d} = > ad < bc</math>
 
: <math> \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = > ad = bc</math>
 
: <math> \frac{a}{b} > \frac{c}{d} = > ad > bc</math>
 
Dvojni razlomak
:<math>\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}</math>
 
==Proširivanje i skračivanje razlomaka==
 
: <math>\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}</math> proširivanje razlomaka
 
: <math>\frac{an}{bn}=\frac{a}{b}</math> skraćivanje razlomaka
 
{{Brojni sistemi}}
73.705

izmjena