Razlika između verzija stranice "Eulerova formula"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary oznaka: uređivanje izvornog kôda (2017) |
|||
Red 10:
[[Richard Feynman]] nazvao je Eulerovu formulu "našim draguljem" i "najizvanrednojom formulom u matematici".<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics, vol. I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|pages=22–10}}</ref>
==Istorija==
Bernoulli je oko 1702. godine zapisao
<math> \frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2} \left(\frac{dx}{1-ix}+\frac{dx}{1+ix} \right)</math>.
i
<math>\int \frac{dx}{1+x}=\ln(1+x),</math>
Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je [[Roger Cotes]] 1714. godine otkrio da je
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>
On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula
<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije.
==Primjene u teoriji kompleksnih brojeva==
Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija <math>e^{ix}</math> rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu <math>x</math> je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju <math>e^z</math> i periodičnih funkcija <math>sin x</math> i <math>cos x</math>, gdje je <math>z</math> kompleksni broj, a <math>x</math> realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za <math>x</math> bilo koji kompleksan broj.
Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj <math>z = x + iy</math> može zapisati kao
:<math> z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,</math>
gdje je
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> realni dio
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> imaginarni dio
:<math>|z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> apsolutna vrijednost ili veličina od <math>z</math>
:<math>\phi = \,</math> <math>arctan(y, x</math>) zadan u radijanima.
:<math>a = e^{\ln (a)} \ </math>
:<math>e^a e^b = e^{a + b} \ </math>
:<math> z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi} \ </math>
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \ .</math>
: <math>(e^a)^k = e^{a k} \ ,</math>
==Veza sa trigonometrijom==
Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije
:<math>
\begin{align}
\cos x & = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2} \\
\sin x & = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}
\end{align}
</math>
Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule
: <math>
\begin{align}
e^{ix} & = \cos x + i \sin x \; \\
e^{-ix} & = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;
\end{align}
</math>
rješavanjem po sin ili cos funkciji.
Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.
Za <math>x = iy</math> imamo
:<math>
\begin{align}
\cos(iy) & = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) \\
\sin(iy) & = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = - {e^{y} - e^{-y} \over 2i} = i\sinh(y) \ .
\end{align}
</math>
Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije.
;Primjer
: <math>
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \bigg[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \bigg] \
\end{align}
</math>
: <math>
\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \}
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace{e^{ix} + e^{-ix}}_{2\cos(x)} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x) - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x] \
\end{align}</math>
==eksponencijalni oblik kompleksnog broja==
==Preko redova==
:<math>e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}.</math>
==Preko limesa==
:<math>e^z = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n ~.</math>
==Dokazi==
: <math>\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,
\end{align}</math>
: <math>\begin{align}
e^{ix} &{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
&{}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
&{}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt]
&{}= \cos x + i\sin x \ .
\end{align}</math>
== Također pogledajte ==
| |||