Razlika između verzija stranice "Fibonaccijev broj"

[pregledana izmjena][pregledana izmjena]
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary
oznaka: uređivanje izvornog kôda (2017)
No edit summary
oznaka: uređivanje izvornog kôda (2017)
Red 29:
 
<math>F_{mn}=\textstyle \sum_{k=1}^m { \binom{m}{k}(F_n^k (F_{n-1}^{m-k}}</math>
==Binetova formula==
Binetova [[formula]] je eksplicitno izražavanje vrijednosti <math>F_n</math> kao [[unkcije|funkcije]] od <math>n</math>
 
: <math>F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1},</math>
 
gdje je <math>\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> [[zlatni presjek]]. U tom slučaju <math>\varphi</math> и <math>(-\varphi )^{-1}=1-\varphi</math> su rješenja [[jednačine]] <math>x^2-x-1=0</math>.
 
Iz Binetove formule za sve <math>n\geqslant 0</math>, slijedi da je <math>F_n</math> za <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}</math> najbliže [[cijeli brojevi|cijelom broju]] tj. <math>F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil</math>
 
Za <math>n\to\infty</math> je <math>F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}</math>.
 
Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način
 
: <math>F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right).</math>
 
pri tome <math> F_{z+2} = F_{z+1} + F_z </math> vrijedi za svaki [[Kompleksan broj|kompleksni broj]]
 
== Odnos prema zlatnom odnosu ==