Razlika između verzija stranice "Fibonaccijev broj"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary |
|||
Red 9:
\end{cases}
</math>
To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći [[Broj|broj]] je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi {{OEIS|id=A000045}}, također označeni kao ''F<sub>n</sub>'', za ''n'' = 0, 1, … , su:
: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811…
Red 15:
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao [[Fibonacci]], iako su ranije opisani u [[Indijska matematika|Indiji]].<ref>Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985</ref>
Ako znamo Fibonaccijeve brojeve <math>F_m</math> i <math>F_n</math> onda možemo naći broj <math>F_{m+n}</math> po formuli
<math>F_{m+n}=F_{(m-1)}F_n+F_mF_{n+1}</math>
Također imamo
<math>F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})</math>
<math>F_{3n}= F_{n+1}^3+ F_n^3+F_{n-1}^3</math>
Uopšteno
<math>F_{mn}=\textstyle \sum_{k=1}^m { \binom{m}{k}(F_n^k (F_{n-1}^{m-k}}</math>
== Odnos prema zlatnom odnosu ==
U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj <math>\phi =\frac{1+\sqrt{5} }{2}</math> koji je korjen jednačine <math>x^2-x-1=0</math> i
<math>x^n-x^{n-1}+x^{n-2}=0</math>
Iz [[Binetova formula|Binetove formule]]
<math>\frac{1} {\sqrt{5}} (\phi^n - (-\phi)^{-n})= \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{2 \varphi - 1}</math>
Gdje je
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\cdots</math>
:<math>\varphi^{-1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi = - {1 \over \varphi} \approx -0.61803\,39887\cdots</math>
Dalje imamo
<math>\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}</math>
i
<math>(\varphi^{-1})^{n}=(\varphi^{-1})^{n-1}+(\varphi^{-1})^{n-2}</math>
Za sve vrijednosti a , b definišimo niz
<math>U_n = a \varphi^n + b (\varphi^{-1})^n </math>
Zadovoljena je i relaciija
<math>U_n = a \varphi^{n-1} + b (\varphi^{-1})^{n-1}+ a \varphi^{n-2} + b (\varphi^{-1})^{n-2} =U_{n-1}+U_{n-2} </math>
Neka su <math>a</math> i <math>b</math> izabrani tako da je <math>U_0=0</math> i <math>U_1=1</math>onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.
Brojevi <math>a</math> i <math>b</math> zafovoljavaju relaciju
<math>a+b=0</math>
<math>a \varphi^n + b (\varphi^{-1})^n=1</math>
Odnosno imamo
<math>a = \frac{1}{\varphi-\varphi^{-1}} = \frac{1}{\sqrt 5},\, b = -a</math>
Uzimajući <math>U_0</math> i <math>U_1</math> kao početne varijable imamo
<math>U_n= a \varphi^n + b (\varphi^{-1})^n=1</math>
Odnosno
:<math> a=\frac{U_1-U_0\varphi^{-1}}{\sqrt 5}</math>
:<math> b=\frac{U_0\varphi-U_1}{\sqrt 5}</math>.
Posmatrajmo sada
:<math>\left|\frac{(\varphi^{-1})^{n}}{\sqrt 5}\right| < \frac{1}{2}</math>
Za <math>n \geq 0</math>, broj <math>F_n</math> najbliži cio broj je <math>\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}</math>, koji se može dobiti iz funkcije
:<math>F_n=\left[\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}\right],\ n \geq 0,</math>
ili
:<math>F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\right\rfloor,\ n \geq 0.</math>
Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.
:<math>n(F) = \bigg\lfloor \log_\varphi \left(F\cdot\sqrt{5} + \frac{1}{2}\right) \bigg\rfloor,</math>
gdje se <math>\log_\varphi(x)</math> može izračunati korištenjem logaritma druge baze
Primjer
<math>\log_\varphi(x) = \ln(x)/\ln(\varphi) = \log_{10}(x)/\log_{10}(\varphi)</math>
== Osobine ==
Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa
Posljedice
<math>F_m</math> je djeljiv sa <math>F_n</math> ako i samo ako je <math>m</math> djeljivo sa <math>n</math>( bez <math>n=2</math>)
*<math>F_m</math> je djeljivo sa <math>F_3=2</math> samo ako je <math>m=3k</math>
*<math>F_m</math> je djeljivo sa <math>F_4=3</math> samo ako je <math>m=4k</math>
*<math>F_m</math> je djeljivo sa <math>F_5=5</math> samo ako je <math>m=5k</math>
<math>F_m</math> je prost ako je <math>m</math> prost broj sa isključenjem <math>m=4</math>
:<math>F_{13} =233</math>
Obratno ne važi tj ako je <math>m</math> prost broj <math>F_m</math> ne mora biti prost
:<math>F{19}=4181=37*113</math>
Njegov polinom <math>x^2-x-1</math> ima korjene <math>\varphi</math> i <math>-\varphi^{-1}</math>
<math>\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi.</math>
1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12
<math>F_{0}=0^{2}=0</math>, <math>F_{1}=1^{2}=1</math>, <math>F_{2}=1^{2}=1</math>, <math>F_{12}=12^{2}=144
</math>
'''Generirajuća''' funkcija niza fibonaccijevih brojeva je
<math>x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}</math>
== Fibonnaccijev niz brojeva ==
Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva <math>F_n</math> za <math>n = 0,1,2,3,....20</math><ref>[http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html The Fibonacci series]: 03. april 2011.
</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
| ''F''<sub>0</sub>
| ''F''<sub>1</sub>
| ''F''<sub>2</sub>
| ''F''<sub>3</sub>
| ''F''<sub>4</sub>
| ''F''<sub>5</sub>
| ''F''<sub>6</sub>
| ''F''<sub>7</sub>
| ''F''<sub>8</sub>
| ''F''<sub>9</sub>
| ''F''<sub>10</sub>
| ''F''<sub>11</sub>
| ''F''<sub>12</sub>
| ''F''<sub>13</sub>
| ''F''<sub>14</sub>
| ''F''<sub>15</sub>
| ''F''<sub>16</sub>
| ''F''<sub>17</sub>
| ''F''<sub>18</sub>
| ''F''<sub>19</sub>
| ''F''<sub>20</sub>
|-
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
| 233
| 377
| 610
| 987
| 1597
| 2584
| 4181
| 6765
|}
Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.
:<math>F_{n-2} = F_n - F_{n-1},</math>
:<math>F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n.</math>
Niz brojeva <math>F_n</math> za <math>n=-8,-7,....0,1,2,....8 </math><ref>'''[http://research.allacademic.com/meta/p_mla_apa_research_citation/2/0/6/8/4/p206842_index.html Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane]'''</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
| ''F''<sub>−8</sub>
| ''F''<sub>−7</sub>
| ''F''<sub>−6</sub>
| ''F''<sub>−5</sub>
| ''F''<sub>−4</sub>
| ''F''<sub>−3</sub>
| ''F''<sub>−2</sub>
| ''F''<sub>−1</sub>
| ''F''<sub>0</sub>
| ''F''<sub>1</sub>
| ''F''<sub>2</sub>
| ''F''<sub>3</sub>
| ''F''<sub>4</sub>
| ''F''<sub>5</sub>
| ''F''<sub>6</sub>
| ''F''<sub>7</sub>
| ''F''<sub>8</sub>
|-
| −21
| 13
| −8
| 5
| −3
| 2
| −1
| 1
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
|}
== Identiteti ==
* <math>F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1</math>
* <math>F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}</math>
* <math>F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1</math>
* <math>F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}</math>
* <math>F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}</math> (см. рис.)
* <math>F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}</math>
* <math>F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2</math>
* <math>F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3</math>
* <math>F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}</math>
Opšte formule
* <math>F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}</math>
* <math>F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}</math>
* <math>F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}</math>
:: <math>F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\
-1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\
0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\
0 & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}</math>, kao i <math>\ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix}
1 & i & 0 &\cdots & 0 \\
i & 1 & i & \ddots & \vdots\\
0 & i & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots &\ddots & i \\
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix}</math>,
gdje matrice imaju oblik <math>n\times n</math>, ''i'' je imaginarna jedinica.
* Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma
: <math>F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right),</math>
: <math>F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right).</math>
Za bilo koji <math>n</math>
<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
\begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.</math>
Posljedica
<math>(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2.</math>
Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je
:: <math> F_{n+1}=\frac {F_n+\sqrt{5F_n^2\pm4}}{2}</math>
== Fibonnacijev niz u prirodi ==
| |||