Razlika između verzija stranice "Kompleksan broj"

[[Datoteka:Complex number illustration.svg|malo|desno|]]

U skupu realnih brojeva <math>\mathbb{R}</math> [[Jednačine|jednačina]] <math>x^2-1=0</math> ima dva rješenja

 

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. <math>x = x + 0 i</math>.

 

Povremeno se moze naići na definiciju <math>i=\sqrt{-1}</math>. U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat.

<math>\sqrt{-1}*\sqrt {-1}=\sqrt{1}=1</math>. U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja <math>i=\sqrt{-1}</math>imamo: <math>i*i=-1</math> što je i korektan rezultat.

 

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni [[vektor]]i ili uređeni parovi <math>(x,y)</math> realnih brojeva.

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je [[William Rowan Hamilton|William R. Hamilton]] , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja <math>\sqrt{-1}</math> .

 

 

Modul ili [[apsolutna vrijednost ]] kompleksnog broja <math>z</math> je nenegativni realni broj <math>r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}</math>.

 

 

U skupu kompleksnih brojeva definisano je [[Sabiranje|sabiranje]].

Kompleksni broj <math>-z=(-x,-y)=-x-yi</math> <ref name="skupkomplbr">[https://element.hr/artikli/file/1333 Skup kompleksnih brojeva], pristupljeno 10. jula 2017. {{Simboli jezika|hr|hrvatski}}</ref>

 

Neka su <math>z_1=x_1+iy_1</math> i <math>z_2=x_2+iy_2</math> dva kompleksna broja.

 

<math>\displaystyle z_1\cdot z_2 \displaystyle = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+ix_1y_2+i^2y_1y_2 \displaystyle = x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)</math>

 

<math>(z_1*z_2=z_2*z_1 </math> za <math>\forall z_1,z_2 \in \mathbb{C}</math> komutativnost množenja

 

<math>z_1 * (z_2 + z_3) = z_1 * z_2 + z_1 * z_3</math> za <math>\forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> distributivnost množenja u odnosu na sabiranje <ref name="skupkomplbr"/>

 

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.

Definicija

 

Središte kružnice opisane oko trougla <math>ABC</math> nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> trougla <math>ABC</math> određena kompleksnim brojevima <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> respektivno, tada je ortocentar <math>H</math> tog trougla određen kompleksnim brojem <math>h = a + b + c</math>.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

 

 

Neka su <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math>, <math>C(c)</math> i <math>D(d)</math> četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je <math>AB\parallel CD</math> onda i samo onda ako je <math>(b-a)\times(d-c) = 0</math>

 

<math>\displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \text{za}\quad z_2\neq 0</math>

# [http://www.mim-sraga.com/formule/kompleksni-brojevi.htm KOMPLEKSNI - BROJEVI]

# [https://element.hr/artikli/file/1333 Skup kompleksnih brojeva]

 

== Vanjski linkovi ==