Versiera

U geometriji, versiera, versoria ili češće Vještica Agnesija ili Vještica Marije Agnesi je kriva u nekoj ravni, koja se konstruiše primjenom elementarnih geometrijskih metoda, i koja se analitički izražava preko racionalne funkcije. Njena osnovna karakteristika je zvonasti oblik, koji je sličan obliku kojeg ima Gausova (normalna) raspodjela.

Historija

Konstrukcija versiere

Ovu krivu je proučavalo nekoliko matematičara tokom 17 i 18 vijeka, ali se njena konstrukcija uglavnom pripisuje matematičarki Mariji Gaetana Agnesi. "Versoria" je ime koje je ovoj krivoj dao ime Guido Grandi. Riječ dolazi sa latinskog jezika i označava homonim za "uže koje je povezano na kraj jedra", koje je korišteno za njegovo usmjeravanje. Maria Gaetana Agnesi je bila prva koja je uvela ime versiera. Kroz vrijeme riječ versaria je dobila novo značenje. Iz latinskog jezika, se uzima riječ adversaria, koja tokom vremena gubi slovo a, što na kraju rezultuje da novonastala riječ versaria označava žensko biće koje je u suprotnosti s Bogom. Tokom prevođenja na engleski jezik taj naziv se translirao u naziv vještica.

Konstrukcija

Versiera se konstruiše na sljedeći način:

Versiera sa naznačenim tačkama

Uzme se neka fiksna kružnica, na kojoj se izabere tačka O, koja leži u koordinatnom početku. Zatim se izabere i tačka M, koja treba da leži na suprotnom kraju kružice u odnosu na tačku O. Za bilo koju drugu tačku na kružnici, na primjer za tačku A, na toj kružnici povuče se sekanta, koja treba prolazi kroz tu tačku i kroz tačku O. Navedena sekanta treba također da presijeca i tangentu tačke M, u nekoj tački N. Zatim se povuče jedna prava, koja je paralelna pravcu OM i koja prolazi kroz tačku P, gdje se ta tačka P treba nalaziti na istom pravcu kao i tačka A. Sem toga, ta prava treba da presijeca tangentu tačke M, u tački N. Nakon toga se povuče poluprava, koja započinje u tački A, koja je normalna na pravac OM, i prethodnu pravu i presijeca je u tački P. Za svaki korak u kojem se vrši pomijeranje tačaka A i P, za neke vrijednosti $\Delta x$ i $\Delta y$ u odnosu na ose, vrši se postepeno iscrtavanje linija, od prethodnog do novog položaja tačke P. Ako su pomjeraji dovoljno mali, dobit će se glatka kriva,a tokom iscrtavanja, tačka A se pomijera po kružnici.

Sa slike se može primijetiti da je tangenta tačke O, u stvari asimptota ove krive.

Jednačine

An animation showing the construction of the Witch of Agnesi

Pretpostavimo da je tačka O početna tačka, a da se tačka M nalazi na pozitivnom dijelu y-ose. Također pretpostavimo da je poluprečnik kruga $a$.U tom slučaju, kriva ima Kartezijevu jednačinu oblika:

$y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}.$

Ako je $a={\frac {1}{2}}$, jednakost se pojednostavljuje i dobije se:

$y={\frac {1}{x^{2}+1}}.$

Prethodna jednakost predstavlja izvod arkus tangensa funkcije.

Ako bi se koodinate izrazile parametarski, uz uslov da je ugao $\theta$ između OM and OA, usmjeren kao kazaljka na satu , onda se kriva može definisati preko sljedećih jednačina:

The Witch of Agnesi with parameters a = 1, a = 2, a = 4, and a = 8

$x=2a\tan \theta ;\quad y=2a\cos ^{2}\theta =a\operatorname {vercosin} (2\theta ).\,$

U slučaju da je ugao $\theta$ zaklopljen sa OA i x-osom i da je usmjeren obrnuto od kazalje na satu, imamo sljedeće:

$x=2a\cot \theta ;\quad y=2a\sin ^{2}\theta =a\operatorname {versin} (2\theta ).$

Primjena

The cross-section of a single water wave has a shape similar to the Witch of Agnesi.

Ova kriva se može koristiti za aproksimaciju distribucije spektralne energije, spektralnih linija, a pogotovo za spektralne linije kod X-zraka.

Formalno, kriva je ekvivalentna funkciji gustine vjerovatnoće kod Cauchyeve raspodjele.

Poprečni presjek, nekog proizvoljnog glatkog brda, ima sličan oblik kao ova kriva. Zbog toga je ona najčešće korištena kao generička topografska prepreka za neki tok u matematičkom modeliranju.

See also

• Cauchyjeva raspodjela
• Versinus i vercosinus

Reference

• Eric W. Weisstein, Versiera na MathWorld-u.
• "Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Cubique d'Agnesi" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Šablon:Fr icon
• "MacTutor biography of Agnesi".

"{{{title}}}". John H. Lienhard. The Engines of Our Ingenuity. NPR. KUHF-FM Houston. 2002. br. 1741. Transkript.

Spoljnji linkovi

• Witch of Agnesi od Chrisa Bouchera bazirano na radu Erica W. Weissteina, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Witch of Agnesi – Mathforum.org Java applet