Wikipedia

Razlika između verzija stranice "Granična vrijednost funkcije"

Pregled historije
[pregledana izmjena][pregledana izmjena]
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
No edit summary
No edit summary
Red 20:
</div>
 
U [[matematika|matematici]], '''granična vrijednost funkcije''' je osnovni način određivanja vrijednosti u [[kalkulus]]u i [[Matematička analiza|matematičkoj analizi]], a koje se odnose na ponašanje te funkcije u određenoj [[Zavisne i nezavisne promjenljive|ulaznoj tački]]. Funckija ''f(x)'' ima graničnu vrijednost ''l'' u tački ''p'' ako je vrijednost ''f(x)'' približno jednaka ''l'' (kada je ''x'' približno ''p''). Prve definicije, koje su se pojavite u ranom [[19. vijek]]u, su napisane u tekstu ispod.
Pojam granične vrijednosti ima višestruku upotrebu u modernim kalkulusu. Konkretno, pri definisanju mnogih [[Neprekidna funkcija|neprekidnih funkcija]] koristi se granična vrijednost: otprilike, funkcija je neprekidna ako se sve njene granične vrijednosti slažu s vrijednostima funkcije. Ona se pojavljuje u definiciji [[derivacija]]: u kalkulusu sa jednom promjenljivom, to je granična vrijednost nagiba presjeka linija na grafu funkcije.
Prve definicije, koje su se pojavite u ranom [[19. vijek]]u, su napisane u tekstu ispod.
 
== Historija ==
Line 128 ⟶ 130:
kada je svaki [[Konvergentan red|konvergentni niz]] (''x''<sub>''n''</sub>) u ''M'' sa [[Granična vrijednost niza|graničnom vrijednošċu niza]] jednak ''p'', onda je niz (''f''(''x''<sub>''n''</sub>)) konvergentan sa graničnom vrijednošċu ''L''.
 
Ako skupovi A, B, ... stvaraju konačnu podjelu domena funkcije, <math>x\in\overline{A} \land x\in\overline{B}</math>, ... i relativna granična vrijednost za svaki od tih skupova jednaka je L, onda je i granična vrijednost u tački x jednaka L.
<!--In the case that ''f'' is real-valued, then it is also equivalent to saying that both the right-handed limit or left-handed limit of ''f'' at ''p'' are ''L''.
Funkcija ''f'' je neprekidna u ''p'' ako i samo ako ''f''(''x'') dok se ''x'' približava (konvergira) ''p'' postoji i konačna je. Isto tako, ''f'' mijenja svaki niz u ''M'' koji se približava u ''p'' u niz ''N'' koji se približava ''f''(''p'').
--- Not really according to the given definition. for intance f(x)=sinx/x for x<>0 and f(0)=0 has no limit at x=0 but both lateral limits exist and equal 1-->
If the sets A, B, ... form a finite partition of the function domain, <math>x\in\overline{A} \land x\in\overline{B}</math>, ... and the relative limit for each of those sets exist and is the equal to, say, L, then the limit exists for the point x and is equal to L.
 
Opet, ako je N normirani [[vektorski prostor]], onda je operacija granične vrijednosti linearna u sljedećim smislu: ako je granična vrijednost ''f'' (''x'') kada ''x'' teži ''p'' je L i granična vrijednost ''g'' (''x'') kada ''x'' teži ''p'' je P, onda je granična vrijednost ''F'' (''x'') + ''g'' (''x'') kada ''x'' teži ''p'' je L + P. Ako je ''a'' skalar iz osnove [[Polje (matematika)|polja]], onda je granična vrijednost ''af'' (x) kada x teži ''p'' jednaka ''aL''.
The function ''f'' is [[continuous function|continuous]] at ''p'' if and only if the limit of ''f''(''x'') as ''x'' approaches ''p'' exists and is finite. Equivalently, ''f'' transforms every sequence in ''M'' which converges towards ''p'' into a sequence in ''N'' which converges towards ''f''(''p'').
 
Uzimajući da su granične vrijednosti funkcija u skladu sa [[Algebra|algebarskim]] operacijama, pod uslovom da su granične vrijednosti na desnoj strani izraza ispod stoji da su:
Again, if ''N'' is a normed vector space, then the limit operation is linear in the following sense: if the limit of ''f''(''x'') as ''x'' approaches ''p'' is ''L'' and the limit of ''g''(''x'') as ''x'' approaches ''p'' is ''P'', then the limit of ''f''(''x'') + g(''x'') as ''x'' approaches ''p'' is ''L'' + ''P''. If ''a'' is a scalar from the base [[field (mathematics)|field]], then the limit of ''af''(''x'') as ''x'' approaches ''p'' is ''aL''.
 
Taking the limit of functions is compatible with the algebraic operations, ''provided'' the limits on the ''right'' sides of the identity below exist:
 
:<math>\begin{matrix}
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/wiki/Granična_vrijednost_funkcije"