Razlika između verzija stranice "Sinusna teorema"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary |
No edit summary |
||
Red 5:
<math>\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R,</math> gdje su <math>\ a, b, c</math> stranice naspram uglova <math>\alpha,\;\beta,\;\gamma,</math> u trouglu <math>\ ABC,</math> a <math>\ R</math> poluprečnik opisanog [[krug]]a.
U sfernoj geometriji koristi se
<math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}.</math>
Dokaz
<gallery>
File:Triangle with notations 2.svg|
</gallery>
Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno.<math>CA' =2R</math> je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom <math>BC = a</math> jednaki, tj. <math>\alpha=\angle BAC=\angle BA'C,</math> i periferni ugao <math>\angle CBA'</math> nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo
<math>\sin\alpha = \frac{a}{2R},</math> odnosno <math>\frac{a}{\sin\alpha}=2R.</math>
Slično dobijamo za uglove <math>\beta ,\;\gamma</math>
Teorema
Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelovе naleglim stranicama .
Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela
<math>\angle ACD = \angle DCB = \phi,\; (\angle C = \gamma = 2\phi).</math>
Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:
<math>AD:AC = \sin\phi : \sin\theta, \quad DB:CB=\sin\phi : \sin\theta.</math> Отуда је <math>\ AD : AC = DB : CB,</math>
==Površina trougla==
<math>P = \frac{1}{2}b(c \sin \gamma) = \frac{1}{2}c(a \sin \beta) = \frac{1}{2}a(b \sin \gamma)\,.</math>
<math>\frac{2P}{abc} = \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta }{b} = \frac{\sin \gamma}{c}\,.</math>
==Primjeri==
Sinusna teorema se primejnjuje:
#Kada su data dva ugla i jedna stranica
#Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica
'''Primjer 1'''
Neka su date stranice trougla <math>a = 20</math>, i <math>c = 24</math>, i ugao <math>\gamma = 40^o</math>.
:<math>\frac{\sin \alpha}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.</math>
:<math> \alpha = \arcsin\left( \frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \approx 32.39^\circ. </math>
'''Primjer 2'''
U <math>\Delta ABC,\; BC=7cm,\; \angle A=41^o,\; \angle B=62^o.</math> Naći dužinu stranice AC.
Rešenje:
<math>\frac{7}{\sin 41^o}=\frac{b}{\sin 62^o} \Rightarrow b=\frac{7\sin 62^o}{\sin 41^o}=9,4208... .</math>
Prema tome
<math>AC=9,42</math>.
'''Primjer 3'''
U trouglu ABC zadano je <math>AC=15 cm,\; \angle A=107^o,\; \angle B=32^o</math> naći AB.
Rešenje:
Iz <math>\angle A+\angle B+\angle C=180^o,</math> proizlazi <math>\angle C =41^o.</math>
Zatim, iz sinusne teoreme
<math>\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},</math> tj.
<math>\frac{15}{\sin 32^o}=\frac{c}{\sin 41^o},</math> dobijamo <math>c=\frac{15\cdot\sin 41^o}{\sin 32^o}=18,5705... .</math>
: Prema tome, stranica AB = 18,57.
==Odnos prema kružnici==
Iz identiteta
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C},\!</math>
== Također pogledajte ==
* [[Tangensni teorem]]
==Vanjski linkovi==
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Sine_theorem Sine theorem]
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml#law Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem]
* [http://mysite.du.edu/~jcalvert/railway/degcurv.htm Degree of Curvature]
* [http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm Finding the Sine of 1 Degree]
* [http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html Generalized Law of Sines]
* [https://proofwiki.org/wiki/Law_of_Sines Law of Sines]
{{Commonscat|Law of sines}}
| |||