Razlika između verzija stranice "Skalarni proizvod"
| [pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m +{{Nedostaju izvori}} |
|||
Red 80:
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos\theta. \, </math>
[[Q.E.D.]]
==Dokaz kosinusne teoreme==
[[Datoteka:Dot product cosine rule.svg|100px|desno| ]]
Kako je <math>c= a - b</math> imamo:
<math>\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}=( \mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot ( \mathbf{a} - \mathbf{b} )</math> <math>= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}= \mathbf{a}^2+ \mathbf{b}^2 -2ab= </math>
<math>
c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \theta</math>
==Trostruki proizvod==
<math>\ Mathbf {a} \ puta (\ mathbf {b} \ puta \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})</math>,
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
==Projekcija vektora na vektor==
Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor<ref>[http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/04.pdf projekcija vektora na vektor]</ref> tj.
*<math>\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega = \overrightarrow{a_b}</math> skalarna projekcija vektora <math>\overrightarrow{a}</math> na vektor <math>\overrightarrow{b}</math>
* <math>\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega = \overrightarrow{b_a}</math> skalarna projekcija vektora <math>\overrightarrow{b}</math> na vektor <math>\overrightarrow{a}</math>
*<math>(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0})*\overrightarrow{b_0}=a_b\overrightarrow{b_0}</math> vektorska projekcija vektora <math>\overrightarrow{a}</math> na vektor <math>\overrightarrow{b}</math>
*<math>(\overrightarrow{a_0}\overrightarrow{b})*\overrightarrow{a_0}=b_a\overrightarrow{a_0}</math> vektorska projekcija vektora <math>\overrightarrow{b}</math> na vektor <math>\overrightarrow{a}</math>
==Posljedice skalarnog množenja==
*<math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}</math> <ref> [http://fabulierer.de/vektorrechnung-fuers-abitur/#vektorrechnung-skalarprodukt skalami proizvod a b= 0<]/ref>
*<math>\overrightarrow{a} \overrightarrow{a} = \mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a}\mid \cos \ 0 =\mid \overrightarrow{a} \mid ^2 =>\mid \overrightarrow{a} \mid \sqrt{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}</math>
* <math>\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} => \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0</math>
* <math>\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0 =>\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}</math> ili je bar jedan od vektora <math>\overrightarrow{0}</math>
*<math>cos \omega =\frac{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a} \mid}</math> (<math>0< \omega < \pi</math>)
==Osobine skalarnog proizvoda==
<ref>[http://www.mathreference.com/la,dot.html osobine]</ref>
*<math>\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\ge 0 \ \overrightarrow{a}\overrightarrow{a}= 0 <=> \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}</math>
*<math>\lambda( \overrightarrow{a}\overrightarrow{b})= (\lambda \overrightarrow{a})\overrightarrow{b})= \overrightarrow{a}(\lambda \overrightarrow{b})</math>
*<math>\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})= \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}</math>
==Izvori==
* [http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html Dot Product]
* [http://www.mathreference.com/la,dot.html Dot Product]
* [http://www.kilchb.de/skalarpr.php Einführung in das Skalarprodukt]
==Reference==
== Također pogledajte ==
| |||